Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51034 / 48027
↖ ↑ ↗
← S 63.925303°
E100.338135°		 ← 268.47 m → S 63.925303°
E100.343628°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 63.927717°
E100.338135°		 ← 268.44 m →
72 073 m²		 S 63.927717°
E100.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778724670410156 y=0.732841491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778724670410156 × 216)
    floor (0.778724670410156 × 65536)
    floor (51034.5)     		tx = 51034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732841491699219 × 216)
    floor (0.732841491699219 × 65536)
    floor (48027.5)     		ty = 48027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51034 / 48027 ti = "16/51034/48027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51034/48027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51034 ÷ 216
    51034 ÷ 65536     		x = 0.778717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48027 ÷ 216
    48027 ÷ 65536     		y = 0.732833862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778717041015625 × 2 - 1) × π
    0.55743408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75123082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732833862304688 × 2 - 1) × π
    -0.465667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46293830260487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75123082} λ = 1.75123082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46293830260487))-π/2
    2×atan(0.231554895817721)-π/2
    2×0.227544659942657-π/2
    0.455089319885315-1.57079632675     		φ = -1.11570701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75123082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11570701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.925303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51034 KachelY 48027 1.75123082 -1.11570701 100.338135 -63.925303
    Oben rechts KachelX + 1 51035 KachelY 48027 1.75132669 -1.11570701 100.343628 -63.925303
    Unten links KachelX 51034 KachelY + 1 48028 1.75123082 -1.11574915 100.338135 -63.927717
    Unten rechts KachelX + 1 51035 KachelY + 1 48028 1.75132669 -1.11574915 100.343628 -63.927717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11570701--1.11574915) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11570701--1.11574915) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75123082-1.75132669) × cos(-1.11570701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439542541848861 × 6371000     		do = 268.467208955992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75123082-1.75132669) × cos(-1.11574915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439504690393083 × 6371000     		du = 268.444089749726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11570701)-sin(-1.11574915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439542541848861-0.439504690393083)×R²
    abs(1.75132669-1.75123082)×3.78514557781706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78514557781706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78514557781706e-05×40589641000000     		ar = 72073.3459082416m²