Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51032 / 48216
↖ ↑ ↗
← S 64.377941°
E100.327148°		 ← 264.12 m → S 64.377941°
E100.332641°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 64.380316°
E100.327148°		 ← 264.10 m →
69 747 m²		 S 64.380316°
E100.332641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778694152832031 y=0.735725402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778694152832031 × 216)
    floor (0.778694152832031 × 65536)
    floor (51032.5)     		tx = 51032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735725402832031 × 216)
    floor (0.735725402832031 × 65536)
    floor (48216.5)     		ty = 48216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51032 / 48216 ti = "16/51032/48216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51032/48216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51032 ÷ 216
    51032 ÷ 65536     		x = 0.7786865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48216 ÷ 216
    48216 ÷ 65536     		y = 0.7357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7786865234375 × 2 - 1) × π
    0.557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75103907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48105845066125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75103907} λ = 1.75103907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48105845066125))-π/2
    2×atan(0.227396872590317)-π/2
    2×0.223594645779962-π/2
    0.447189291559924-1.57079632675     		φ = -1.12360704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75103907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12360704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.377941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51032 KachelY 48216 1.75103907 -1.12360704 100.327148 -64.377941
    Oben rechts KachelX + 1 51033 KachelY 48216 1.75113494 -1.12360704 100.332641 -64.377941
    Unten links KachelX 51032 KachelY + 1 48217 1.75103907 -1.12364849 100.327148 -64.380316
    Unten rechts KachelX + 1 51033 KachelY + 1 48217 1.75113494 -1.12364849 100.332641 -64.380316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12360704--1.12364849) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dl = 264.077950000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12360704--1.12364849) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dr = 264.077950000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75103907-1.75113494) × cos(-1.12360704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432432920746171 × 6371000     		do = 264.124739337135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75103907-1.75113494) × cos(-1.12364849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432395546314552 × 6371000     		du = 264.101911491391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12360704)-sin(-1.12364849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432432920746171-0.432395546314552)×R²
    abs(1.75113494-1.75103907)×3.73744316190527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73744316190527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73744316190527e-05×40589641000000     		ar = 69746.5055531674m²