Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51031 / 49868
↖ ↑ ↗
← S 68.032243°
E100.321656°		 ← 228.49 m → S 68.032243°
E100.327148°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 68.034298°
E100.321656°		 ← 228.47 m →
52 199 m²		 S 68.034298°
E100.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778678894042969 y=0.760932922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778678894042969 × 216)
    floor (0.778678894042969 × 65536)
    floor (51031.5)     		tx = 51031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760932922363281 × 216)
    floor (0.760932922363281 × 65536)
    floor (49868.5)     		ty = 49868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51031 / 49868 ti = "16/51031/49868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51031/49868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51031 ÷ 216
    51031 ÷ 65536     		x = 0.778671264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49868 ÷ 216
    49868 ÷ 65536     		y = 0.76092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778671264648438 × 2 - 1) × π
    0.557342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75094320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.5218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75094320} λ = 1.75094320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63944196700592))-π/2
    2×atan(0.194088319763074)-π/2
    2×0.191704843734037-π/2
    0.383409687468075-1.57079632675     		φ = -1.18738664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75094320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.321656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18738664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.032243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51031 KachelY 49868 1.75094320 -1.18738664 100.321656 -68.032243
    Oben rechts KachelX + 1 51032 KachelY 49868 1.75103907 -1.18738664 100.327148 -68.032243
    Unten links KachelX 51031 KachelY + 1 49869 1.75094320 -1.18742250 100.321656 -68.034298
    Unten rechts KachelX + 1 51032 KachelY + 1 49869 1.75103907 -1.18742250 100.327148 -68.034298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18738664--1.18742250) × R
    3.58600000001097e-05 × 6371000     		dl = 228.464060000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18738664--1.18742250) × R
    3.58600000001097e-05 × 6371000     		dr = 228.464060000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75094320-1.75103907) × cos(-1.18738664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374084762670352 × 6371000     		do = 228.486397982399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75094320-1.75103907) × cos(-1.18742250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374051506062451 × 6371000     		du = 228.466085253021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18738664)-sin(-1.18742250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374084762670352-0.374051506062451)×R²
    abs(1.75103907-1.75094320)×3.32566079012109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32566079012109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32566079012109e-05×40589641000000     		ar = 52198.6097790553m²