Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51029 / 49871
↖ ↑ ↗
← S 68.038407°
E100.310669°		 ← 228.43 m → S 68.038407°
E100.316162°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 68.040461°
E100.310669°		 ← 228.41 m →
52 170 m²		 S 68.040461°
E100.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778648376464844 y=0.760978698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778648376464844 × 216)
    floor (0.778648376464844 × 65536)
    floor (51029.5)     		tx = 51029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760978698730469 × 216)
    floor (0.760978698730469 × 65536)
    floor (49871.5)     		ty = 49871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51029 / 49871 ti = "16/51029/49871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51029/49871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51029 ÷ 216
    51029 ÷ 65536     		x = 0.778640747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49871 ÷ 216
    49871 ÷ 65536     		y = 0.760971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778640747070312 × 2 - 1) × π
    0.557281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75075145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760971069335938 × 2 - 1) × π
    -0.521942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63972958840364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75075145} λ = 1.75075145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63972958840364))-π/2
    2×atan(0.194032503836575)-π/2
    2×0.191651053517179-π/2
    0.383302107034358-1.57079632675     		φ = -1.18749422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75075145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.310669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18749422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.038407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51029 KachelY 49871 1.75075145 -1.18749422 100.310669 -68.038407
    Oben rechts KachelX + 1 51030 KachelY 49871 1.75084732 -1.18749422 100.316162 -68.038407
    Unten links KachelX 51029 KachelY + 1 49872 1.75075145 -1.18753007 100.310669 -68.040461
    Unten rechts KachelX + 1 51030 KachelY + 1 49872 1.75084732 -1.18753007 100.316162 -68.040461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18749422--1.18753007) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dl = 228.400349999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18749422--1.18753007) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dr = 228.400349999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75075145-1.75084732) × cos(-1.18749422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373984991403669 × 6371000     		do = 228.425458912911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75075145-1.75084732) × cos(-1.18753007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373951742627355 × 6371000     		du = 228.405150966971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18749422)-sin(-1.18753007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373984991403669-0.373951742627355)×R²
    abs(1.75084732-1.75075145)×3.32487763140543e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32487763140543e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32487763140543e-05×40589641000000     		ar = 52170.1355992833m²