Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51028 / 48828
↖ ↑ ↗
← S 65.793769°
E100.305176°		 ← 250.46 m → S 65.793769°
E100.310669°		 →
↑
250.44 m
↓
↑
250.44 m
↓
S 65.796021°
E100.305176°		 ← 250.44 m →
62 724 m²		 S 65.796021°
E100.310669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778633117675781 y=0.745063781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778633117675781 × 216)
    floor (0.778633117675781 × 65536)
    floor (51028.5)     		tx = 51028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745063781738281 × 216)
    floor (0.745063781738281 × 65536)
    floor (48828.5)     		ty = 48828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51028 / 48828 ti = "16/51028/48828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51028/48828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51028 ÷ 216
    51028 ÷ 65536     		x = 0.77862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48828 ÷ 216
    48828 ÷ 65536     		y = 0.74505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    0.5572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75065557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75065557} λ = 1.75065557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5397332157962))-π/2
    2×atan(0.21443830254827)-π/2
    2×0.211239217926729-π/2
    0.422478435853458-1.57079632675     		φ = -1.14831789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75065557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14831789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.793769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51028 KachelY 48828 1.75065557 -1.14831789 100.305176 -65.793769
    Oben rechts KachelX + 1 51029 KachelY 48828 1.75075145 -1.14831789 100.310669 -65.793769
    Unten links KachelX 51028 KachelY + 1 48829 1.75065557 -1.14835720 100.305176 -65.796021
    Unten rechts KachelX + 1 51029 KachelY + 1 48829 1.75075145 -1.14835720 100.310669 -65.796021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14831789--1.14835720) × R
    3.93100000000146e-05 × 6371000     		dl = 250.444010000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14831789--1.14835720) × R
    3.93100000000146e-05 × 6371000     		dr = 250.444010000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75065557-1.75075145) × cos(-1.14831789) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.4100222316054 × 6371000     		do = 250.462687009477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75065557-1.75075145) × cos(-1.14835720) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409986377599587 × 6371000     		du = 250.440785536963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14831789)-sin(-1.14835720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4100222316054-0.409986377599587)×R²
    abs(1.75075145-1.75065557)×3.5854005812741e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.5854005812741e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.5854005812741e-05×40589641000000     		ar = 62724.1371518867m²