Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51027 / 48765
↖ ↑ ↗
← S 65.651481°
E100.299683°		 ← 251.82 m → S 65.651481°
E100.305176°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
S 65.653746°
E100.299683°		 ← 251.80 m →
63 417 m²		 S 65.653746°
E100.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778617858886719 y=0.744102478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778617858886719 × 216)
    floor (0.778617858886719 × 65536)
    floor (51027.5)     		tx = 51027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744102478027344 × 216)
    floor (0.744102478027344 × 65536)
    floor (48765.5)     		ty = 48765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51027 / 48765 ti = "16/51027/48765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51027/48765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51027 ÷ 216
    51027 ÷ 65536     		x = 0.778610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48765 ÷ 216
    48765 ÷ 65536     		y = 0.744094848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778610229492188 × 2 - 1) × π
    0.557220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75055970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744094848632812 × 2 - 1) × π
    -0.488189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53369316644408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75055970} λ = 1.75055970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53369316644408))-π/2
    2×atan(0.215737439956064)-π/2
    2×0.212480911001862-π/2
    0.424961822003724-1.57079632675     		φ = -1.14583450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75055970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.299683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14583450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.651481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51027 KachelY 48765 1.75055970 -1.14583450 100.299683 -65.651481
    Oben rechts KachelX + 1 51028 KachelY 48765 1.75065557 -1.14583450 100.305176 -65.651481
    Unten links KachelX 51027 KachelY + 1 48766 1.75055970 -1.14587403 100.299683 -65.653746
    Unten rechts KachelX + 1 51028 KachelY + 1 48766 1.75065557 -1.14587403 100.305176 -65.653746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14583450--1.14587403) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14583450--1.14587403) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75055970-1.75065557) × cos(-1.14583450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412286004174607 × 6371000     		do = 251.819249092014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75055970-1.75065557) × cos(-1.14587403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412249989869219 × 6371000     		du = 251.797251994738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14583450)-sin(-1.14587403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412286004174607-0.412249989869219)×R²
    abs(1.75065557-1.75055970)×3.60143053880768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60143053880768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60143053880768e-05×40589641000000     		ar = 63416.807505816m²