Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51026 / 48110
↖ ↑ ↗
← S 64.124990°
E100.294190°		 ← 266.55 m → S 64.124990°
E100.299683°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 64.127387°
E100.294190°		 ← 266.53 m →
71 050 m²		 S 64.127387°
E100.299683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778602600097656 y=0.734107971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778602600097656 × 216)
    floor (0.778602600097656 × 65536)
    floor (51026.5)     		tx = 51026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734107971191406 × 216)
    floor (0.734107971191406 × 65536)
    floor (48110.5)     		ty = 48110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51026 / 48110 ti = "16/51026/48110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51026/48110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51026 ÷ 216
    51026 ÷ 65536     		x = 0.778594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48110 ÷ 216
    48110 ÷ 65536     		y = 0.734100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778594970703125 × 2 - 1) × π
    0.55718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75046383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.46820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4708958279418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75046383} λ = 1.75046383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4708958279418))-π/2
    2×atan(0.229719603743504)-π/2
    2×0.225802063152533-π/2
    0.451604126305065-1.57079632675     		φ = -1.11919220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75046383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.294190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11919220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.124990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51026 KachelY 48110 1.75046383 -1.11919220 100.294190 -64.124990
    Oben rechts KachelX + 1 51027 KachelY 48110 1.75055970 -1.11919220 100.299683 -64.124990
    Unten links KachelX 51026 KachelY + 1 48111 1.75046383 -1.11923404 100.294190 -64.127387
    Unten rechts KachelX + 1 51027 KachelY + 1 48111 1.75055970 -1.11923404 100.299683 -64.127387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11919220--1.11923404) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11919220--1.11923404) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75046383-1.75055970) × cos(-1.11919220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436409405184538 × 6371000     		do = 266.553527399685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75046383-1.75055970) × cos(-1.11923404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436371759337697 × 6371000     		du = 266.530533776843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11919220)-sin(-1.11923404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436409405184538-0.436371759337697)×R²
    abs(1.75055970-1.75046383)×3.76458468411833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76458468411833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76458468411833e-05×40589641000000     		ar = 71050.1473545054m²