Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51020 / 48231
↖ ↑ ↗
← S 64.413549°
E100.261230°		 ← 263.81 m → S 64.413549°
E100.266724°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 64.415921°
E100.261230°		 ← 263.79 m →
69 579 m²		 S 64.415921°
E100.266724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778511047363281 y=0.735954284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778511047363281 × 216)
    floor (0.778511047363281 × 65536)
    floor (51020.5)     		tx = 51020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735954284667969 × 216)
    floor (0.735954284667969 × 65536)
    floor (48231.5)     		ty = 48231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51020 / 48231 ti = "16/51020/48231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51020/48231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51020 ÷ 216
    51020 ÷ 65536     		x = 0.77850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48231 ÷ 216
    48231 ÷ 65536     		y = 0.735946655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    0.5570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74988858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735946655273438 × 2 - 1) × π
    -0.471893310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48249655764986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74988858} λ = 1.74988858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48249655764986))-π/2
    2×atan(0.227070086591593)-π/2
    2×0.223283904905376-π/2
    0.446567809810753-1.57079632675     		φ = -1.12422852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74988858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.261230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12422852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.413549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51020 KachelY 48231 1.74988858 -1.12422852 100.261230 -64.413549
    Oben rechts KachelX + 1 51021 KachelY 48231 1.74998446 -1.12422852 100.266724 -64.413549
    Unten links KachelX 51020 KachelY + 1 48232 1.74988858 -1.12426992 100.261230 -64.415921
    Unten rechts KachelX + 1 51021 KachelY + 1 48232 1.74998446 -1.12426992 100.266724 -64.415921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12422852--1.12426992) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12422852--1.12426992) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74988858-1.74998446) × cos(-1.12422852) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.431872469819 × 6371000     		do = 263.809937360629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74988858-1.74998446) × cos(-1.12426992) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.431835129353087 × 6371000     		du = 263.787127881763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12422852)-sin(-1.12426992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431872469819-0.431835129353087)×R²
    abs(1.74998446-1.74988858)×3.73404659121945e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.73404659121945e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.73404659121945e-05×40589641000000     		ar = 69579.3426949661m²