Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5102 / 7204
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
E 44.208985°		 ← 893.46 m → S 79.464560°
E 44.252930°		 →
↑
893.09 m
↓
↑
893.09 m
↓
S 79.472592°
E 44.208985°		 ← 892.79 m →
797 641 m²		 S 79.472592°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62286376953125 y=0.87945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62286376953125 × 213)
    floor (0.62286376953125 × 8192)
    floor (5102.5)     		tx = 5102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87945556640625 × 213)
    floor (0.87945556640625 × 8192)
    floor (7204.5)     		ty = 7204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5102 / 7204 ti = "13/5102/7204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5102/7204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5102 ÷ 213
    5102 ÷ 8192     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7204 ÷ 213
    7204 ÷ 8192     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5102 KachelY 7204 0.77159234 -1.38691821 44.208985 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 5103 KachelY 7204 0.77235933 -1.38691821 44.252930 -79.464560
    Unten links KachelX 5102 KachelY + 1 7205 0.77159234 -1.38705839 44.208985 -79.472592
    Unten rechts KachelX + 1 5103 KachelY + 1 7205 0.77235933 -1.38705839 44.252930 -79.472592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38705839) × R
    0.000140180000000045 × 6371000     		dl = 893.086780000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38705839) × R
    0.000140180000000045 × 6371000     		dr = 893.086780000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(-1.38691821) × R
    0.000766990000000023 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 893.464407271336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(-1.38705839) × R
    0.000766990000000023 × 0.182705859687153 × 6371000     		du = 892.790957404982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38705839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182705859687153)×R²
    abs(0.77235933-0.77159234)×0.00013781864138282×R²
    0.000766990000000023×0.00013781864138282×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013781864138282×40589641000000     		ar = 797640.527256875m²