Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5102 / 7183
↖ ↑ ↗
← S 79.294479°
E 44.208985°		 ← 907.72 m → S 79.294479°
E 44.252930°		 →
↑
907.42 m
↓
↑
907.42 m
↓
S 79.302640°
E 44.208985°		 ← 907.04 m →
823 376 m²		 S 79.302640°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62286376953125 y=0.87689208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62286376953125 × 213)
    floor (0.62286376953125 × 8192)
    floor (5102.5)     		tx = 5102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87689208984375 × 213)
    floor (0.87689208984375 × 8192)
    floor (7183.5)     		ty = 7183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5102 / 7183 ti = "13/5102/7183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5102/7183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5102 ÷ 213
    5102 ÷ 8192     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7183 ÷ 213
    7183 ÷ 8192     		y = 0.8768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36769934603381))-π/2
    2×atan(0.0936960406687138)-π/2
    2×0.0934232916791461-π/2
    0.186846583358292-1.57079632675     		φ = -1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5102 KachelY 7183 0.77159234 -1.38394974 44.208985 -79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 5103 KachelY 7183 0.77235933 -1.38394974 44.252930 -79.294479
    Unten links KachelX 5102 KachelY + 1 7184 0.77159234 -1.38409217 44.208985 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 5103 KachelY + 1 7184 0.77235933 -1.38409217 44.252930 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38394974--1.38409217) × R
    0.000142429999999916 × 6371000     		dl = 907.421529999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38394974--1.38409217) × R
    0.000142429999999916 × 6371000     		dr = 907.421529999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(-1.38394974) × R
    0.000766990000000023 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 907.721326343977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(-1.38409217) × R
    0.000766990000000023 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 907.03744755651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38394974)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.18562134310359)×R²
    abs(0.77235933-0.77159234)×0.000139952875586047×R²
    0.000766990000000023×0.000139952875586047×6371000²
    0.000766990000000023×0.000139952875586047×40589641000000     		ar = 823375.592988659m²