Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5102 / 1268
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 44.208985°		 ← 1 102.52 m → N 76.960333°
E 44.252930°		 →
↑
1 102.88 m
↓
↑
1 102.88 m
↓
N 76.950415°
E 44.208985°		 ← 1 103.34 m →
1 216 404 m²		 N 76.950415°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62286376953125 y=0.15484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62286376953125 × 213)
    floor (0.62286376953125 × 8192)
    floor (5102.5)     		tx = 5102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15484619140625 × 213)
    floor (0.15484619140625 × 8192)
    floor (1268.5)     		ty = 1268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5102 / 1268 ti = "13/5102/1268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5102/1268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5102 ÷ 213
    5102 ÷ 8192     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1268 ÷ 213
    1268 ÷ 8192     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5102 KachelY 1268 0.77159234 1.34321121 44.208985 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 5103 KachelY 1268 0.77235933 1.34321121 44.252930 76.960333
    Unten links KachelX 5102 KachelY + 1 1269 0.77159234 1.34303810 44.208985 76.950415
    Unten rechts KachelX + 1 5103 KachelY + 1 1269 0.77235933 1.34303810 44.252930 76.950415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34303810) × R
    0.000173109999999976 × 6371000     		dl = 1102.88380999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34303810) × R
    0.000173109999999976 × 6371000     		dr = 1102.88380999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(1.34321121) × R
    0.000766990000000023 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 1102.51783606789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(1.34303810) × R
    0.000766990000000023 × 0.225794213272747 × 6371000     		du = 1103.34190807814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34303810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.225794213272747)×R²
    abs(0.77235933-0.77159234)×0.000168642820390863×R²
    0.000766990000000023×0.000168642820390863×6371000²
    0.000766990000000023×0.000168642820390863×40589641000000     		ar = 1216403.50251545m²