Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5102 / 1070
↖ ↑ ↗
← N 78.784899°
E 44.208985°		 ← 950.39 m → N 78.784899°
E 44.252930°		 →
↑
950.74 m
↓
↑
950.74 m
↓
N 78.776348°
E 44.208985°		 ← 951.10 m →
903 916 m²		 N 78.776348°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62286376953125 y=0.13067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62286376953125 × 213)
    floor (0.62286376953125 × 8192)
    floor (5102.5)     		tx = 5102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13067626953125 × 213)
    floor (0.13067626953125 × 8192)
    floor (1070.5)     		ty = 1070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5102 / 1070 ti = "13/5102/1070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5102/1070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5102 ÷ 213
    5102 ÷ 8192     		x = 0.622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1070 ÷ 213
    1070 ÷ 8192     		y = 0.130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130615234375 × 2 - 1) × π
    0.73876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32091293200464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77159234} λ = 0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32091293200464))-π/2
    2×atan(10.1849682465385)-π/2
    2×1.4729261052049-π/2
    2.9458522104098-1.57079632675     		φ = 1.37505588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37505588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.784899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5102 KachelY 1070 0.77159234 1.37505588 44.208985 78.784899
    Oben rechts KachelX + 1 5103 KachelY 1070 0.77235933 1.37505588 44.252930 78.784899
    Unten links KachelX 5102 KachelY + 1 1071 0.77159234 1.37490665 44.208985 78.776348
    Unten rechts KachelX + 1 5103 KachelY + 1 1071 0.77235933 1.37490665 44.252930 78.776348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37505588-1.37490665) × R
    0.000149229999999889 × 6371000     		dl = 950.744329999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37505588-1.37490665) × R
    0.000149229999999889 × 6371000     		dr = 950.744329999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(1.37505588) × R
    0.000766990000000023 × 0.194492895381245 × 6371000     		do = 950.388228233152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77159234-0.77235933) × cos(1.37490665) × R
    0.000766990000000023 × 0.194639273508061 × 6371000     		du = 951.103503967645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37505588)-sin(1.37490665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194492895381245-0.194639273508061)×R²
    abs(0.77235933-0.77159234)×0.000146378126816782×R²
    0.000766990000000023×0.000146378126816782×6371000²
    0.000766990000000023×0.000146378126816782×40589641000000     		ar = 903916.243141381m²