Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51018 / 48230
↖ ↑ ↗
← S 64.411177°
E100.250244°		 ← 263.81 m → S 64.411177°
E100.255737°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 64.413549°
E100.250244°		 ← 263.78 m →
69 595 m²		 S 64.413549°
E100.255737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778480529785156 y=0.735939025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778480529785156 × 216)
    floor (0.778480529785156 × 65536)
    floor (51018.5)     		tx = 51018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735939025878906 × 216)
    floor (0.735939025878906 × 65536)
    floor (48230.5)     		ty = 48230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51018 / 48230 ti = "16/51018/48230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51018/48230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51018 ÷ 216
    51018 ÷ 65536     		x = 0.778472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48230 ÷ 216
    48230 ÷ 65536     		y = 0.735931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    0.55694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74969684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.47186279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48240068385062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74969684} λ = 1.74969684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48240068385062))-π/2
    2×atan(0.227091857707111)-π/2
    2×0.223304608427859-π/2
    0.446609216855718-1.57079632675     		φ = -1.12418711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74969684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12418711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.411177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51018 KachelY 48230 1.74969684 -1.12418711 100.250244 -64.411177
    Oben rechts KachelX + 1 51019 KachelY 48230 1.74979271 -1.12418711 100.255737 -64.411177
    Unten links KachelX 51018 KachelY + 1 48231 1.74969684 -1.12422852 100.250244 -64.413549
    Unten rechts KachelX + 1 51019 KachelY + 1 48231 1.74979271 -1.12422852 100.255737 -64.413549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12418711--1.12422852) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dl = 263.823109999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12418711--1.12422852) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dr = 263.823109999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74969684-1.74979271) × cos(-1.12418711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431909818563868 × 6371000     		do = 263.805234921724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74969684-1.74979271) × cos(-1.12422852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431872469819 × 6371000     		du = 263.782422765133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12418711)-sin(-1.12422852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431909818563868-0.431872469819)×R²
    abs(1.74979271-1.74969684)×3.73487448680487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73487448680487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73487448680487e-05×40589641000000     		ar = 69594.9083340188m²