Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51017 / 48837
↖ ↑ ↗
← S 65.814032°
E100.244751°		 ← 250.27 m → S 65.814032°
E100.250244°		 →
↑
250.19 m
↓
↑
250.19 m
↓
S 65.816282°
E100.244751°		 ← 250.24 m →
62 611 m²		 S 65.816282°
E100.250244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778465270996094 y=0.745201110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778465270996094 × 216)
    floor (0.778465270996094 × 65536)
    floor (51017.5)     		tx = 51017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745201110839844 × 216)
    floor (0.745201110839844 × 65536)
    floor (48837.5)     		ty = 48837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51017 / 48837 ti = "16/51017/48837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51017/48837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51017 ÷ 216
    51017 ÷ 65536     		x = 0.778457641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48837 ÷ 216
    48837 ÷ 65536     		y = 0.745193481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778457641601562 × 2 - 1) × π
    0.556915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74960096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745193481445312 × 2 - 1) × π
    -0.490386962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54059607998936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74960096} λ = 1.74960096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54059607998936))-π/2
    2×atan(0.214253351220773)-π/2
    2×0.211062390770137-π/2
    0.422124781540274-1.57079632675     		φ = -1.14867155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74960096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.244751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14867155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.814032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51017 KachelY 48837 1.74960096 -1.14867155 100.244751 -65.814032
    Oben rechts KachelX + 1 51018 KachelY 48837 1.74969684 -1.14867155 100.250244 -65.814032
    Unten links KachelX 51017 KachelY + 1 48838 1.74960096 -1.14871082 100.244751 -65.816282
    Unten rechts KachelX + 1 51018 KachelY + 1 48838 1.74969684 -1.14871082 100.250244 -65.816282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14867155--1.14871082) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dl = 250.189170000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14867155--1.14871082) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dr = 250.189170000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74960096-1.74969684) × cos(-1.14867155) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409699641338888 × 6371000     		do = 250.265632267165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74960096-1.74969684) × cos(-1.14871082) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409663818124747 × 6371000     		du = 250.243749603789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14867155)-sin(-1.14871082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409699641338888-0.409663818124747)×R²
    abs(1.74969684-1.74960096)×3.58232141408066e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58232141408066e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58232141408066e-05×40589641000000     		ar = 62611.0134218632m²