Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51016 / 48235
↖ ↑ ↗
← S 64.423037°
E100.239258°		 ← 263.69 m → S 64.423037°
E100.244751°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 64.425408°
E100.239258°		 ← 263.67 m →
69 531 m²		 S 64.425408°
E100.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778450012207031 y=0.736015319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778450012207031 × 216)
    floor (0.778450012207031 × 65536)
    floor (51016.5)     		tx = 51016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736015319824219 × 216)
    floor (0.736015319824219 × 65536)
    floor (48235.5)     		ty = 48235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51016 / 48235 ti = "16/51016/48235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51016/48235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51016 ÷ 216
    51016 ÷ 65536     		x = 0.7784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48235 ÷ 216
    48235 ÷ 65536     		y = 0.736007690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    0.556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74950509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736007690429688 × 2 - 1) × π
    -0.472015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48288005284682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74950509} λ = 1.74950509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48288005284682))-π/2
    2×atan(0.226983022999313)-π/2
    2×0.22320110871621-π/2
    0.446402217432419-1.57079632675     		φ = -1.12439411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74950509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12439411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.423037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51016 KachelY 48235 1.74950509 -1.12439411 100.239258 -64.423037
    Oben rechts KachelX + 1 51017 KachelY 48235 1.74960096 -1.12439411 100.244751 -64.423037
    Unten links KachelX 51016 KachelY + 1 48236 1.74950509 -1.12443550 100.239258 -64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 51017 KachelY + 1 48236 1.74960096 -1.12443550 100.244751 -64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12439411--1.12443550) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12439411--1.12443550) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74950509-1.74960096) × cos(-1.12439411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43172311253478 × 6371000     		do = 263.691197162571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74950509-1.74960096) × cos(-1.12443550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 263.668393764169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12439411)-sin(-1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43172311253478-0.431685778129078)×R²
    abs(1.74960096-1.74950509)×3.73344057015834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73344057015834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73344057015834e-05×40589641000000     		ar = 69531.2256139381m²