Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51015 / 48693
↖ ↑ ↗
← S 65.487905°
E100.233764°		 ← 253.43 m → S 65.487905°
E100.239258°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 65.490184°
E100.233764°		 ← 253.41 m →
64 211 m²		 S 65.490184°
E100.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778434753417969 y=0.743003845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778434753417969 × 216)
    floor (0.778434753417969 × 65536)
    floor (51015.5)     		tx = 51015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743003845214844 × 216)
    floor (0.743003845214844 × 65536)
    floor (48693.5)     		ty = 48693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51015 / 48693 ti = "16/51015/48693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51015/48693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51015 ÷ 216
    51015 ÷ 65536     		x = 0.778427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48693 ÷ 216
    48693 ÷ 65536     		y = 0.742996215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    0.556854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74940921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742996215820312 × 2 - 1) × π
    -0.485992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52679025289879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74940921} λ = 1.74940921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52679025289879))-π/2
    2×atan(0.217231808667661)-π/2
    2×0.213908380300822-π/2
    0.427816760601644-1.57079632675     		φ = -1.14297957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74940921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.233764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14297957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.487905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51015 KachelY 48693 1.74940921 -1.14297957 100.233764 -65.487905
    Oben rechts KachelX + 1 51016 KachelY 48693 1.74950509 -1.14297957 100.239258 -65.487905
    Unten links KachelX 51015 KachelY + 1 48694 1.74940921 -1.14301934 100.233764 -65.490184
    Unten rechts KachelX + 1 51016 KachelY + 1 48694 1.74950509 -1.14301934 100.239258 -65.490184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14297957--1.14301934) × R
    3.97699999998835e-05 × 6371000     		dl = 253.374669999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14297957--1.14301934) × R
    3.97699999998835e-05 × 6371000     		dr = 253.374669999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74940921-1.74950509) × cos(-1.14297957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414885317191539 × 6371000     		do = 253.433310036555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74940921-1.74950509) × cos(-1.14301934) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414849131185881 × 6371000     		du = 253.411205761444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14297957)-sin(-1.14301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414885317191539-0.414849131185881)×R²
    abs(1.74950509-1.74940921)×3.61860056580232e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61860056580232e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61860056580232e-05×40589641000000     		ar = 64210.7809739891m²