Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51015 / 48077
↖ ↑ ↗
← S 64.045767°
E100.233764°		 ← 267.34 m → S 64.045767°
E100.239258°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 64.048171°
E100.233764°		 ← 267.32 m →
71 447 m²		 S 64.048171°
E100.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778434753417969 y=0.733604431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778434753417969 × 216)
    floor (0.778434753417969 × 65536)
    floor (51015.5)     		tx = 51015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733604431152344 × 216)
    floor (0.733604431152344 × 65536)
    floor (48077.5)     		ty = 48077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51015 / 48077 ti = "16/51015/48077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51015/48077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51015 ÷ 216
    51015 ÷ 65536     		x = 0.778427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48077 ÷ 216
    48077 ÷ 65536     		y = 0.733596801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    0.556854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74940921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733596801757812 × 2 - 1) × π
    -0.467193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46773199256688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74940921} λ = 1.74940921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46773199256688))-π/2
    2×atan(0.230447549695499)-π/2
    2×0.226493410235576-π/2
    0.452986820471152-1.57079632675     		φ = -1.11780951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74940921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.233764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11780951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.045767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51015 KachelY 48077 1.74940921 -1.11780951 100.233764 -64.045767
    Oben rechts KachelX + 1 51016 KachelY 48077 1.74950509 -1.11780951 100.239258 -64.045767
    Unten links KachelX 51015 KachelY + 1 48078 1.74940921 -1.11785146 100.233764 -64.048171
    Unten rechts KachelX + 1 51016 KachelY + 1 48078 1.74950509 -1.11785146 100.239258 -64.048171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11780951--1.11785146) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11780951--1.11785146) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74940921-1.74950509) × cos(-1.11780951) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437653060462088 × 6371000     		do = 267.34101970962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74940921-1.74950509) × cos(-1.11785146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437615340989335 × 6371000     		du = 267.317978713864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11780951)-sin(-1.11785146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437653060462088-0.437615340989335)×R²
    abs(1.74950509-1.74940921)×3.7719472752884e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.7719472752884e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.7719472752884e-05×40589641000000     		ar = 71447.4042564929m²