Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51014 / 81764
↖ ↑ ↗
← S 40.655639°
W 39.885864°		 ← 231.71 m → S 40.655639°
W 39.883118°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 40.657722°
W 39.885864°		 ← 231.70 m →
53 674 m²		 S 40.657722°
W 39.883118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389209747314453 y=0.623813629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389209747314453 × 217)
    floor (0.389209747314453 × 131072)
    floor (51014.5)     		tx = 51014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623813629150391 × 217)
    floor (0.623813629150391 × 131072)
    floor (81764.5)     		ty = 81764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51014 / 81764 ti = "17/51014/81764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51014/81764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51014 ÷ 217
    51014 ÷ 131072     		x = 0.389205932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81764 ÷ 217
    81764 ÷ 131072     		y = 0.623809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389205932617188 × 2 - 1) × π
    -0.221588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69613966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.24761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.777920007034271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69613966} λ = -0.69613966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777920007034271))-π/2
    2×atan(0.459360484889239)-π/2
    2×0.430610785648169-π/2
    0.861221571296338-1.57079632675     		φ = -0.70957476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69613966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.885864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70957476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.655639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51014 KachelY 81764 -0.69613966 -0.70957476 -39.885864 -40.655639
    Oben rechts KachelX + 1 51015 KachelY 81764 -0.69609172 -0.70957476 -39.883118 -40.655639
    Unten links KachelX 51014 KachelY + 1 81765 -0.69613966 -0.70961112 -39.885864 -40.657722
    Unten rechts KachelX + 1 51015 KachelY + 1 81765 -0.69609172 -0.70961112 -39.883118 -40.657722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70957476--0.70961112) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dl = 231.649560000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70957476--0.70961112) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dr = 231.649560000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69613966--0.69609172) × cos(-0.70957476) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758638993208013 × 6371000     		do = 231.707875893797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69613966--0.69609172) × cos(-0.70961112) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758615303758351 × 6371000     		du = 231.700640526104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70957476)-sin(-0.70961112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758638993208013-0.758615303758351)×R²
    abs(-0.69609172--0.69613966)×2.36894496620232e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36894496620232e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36894496620232e-05×40589641000000     		ar = 53674.1894704879m²