Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51014 / 48071
↖ ↑ ↗
← S 64.031338°
E100.228271°		 ← 267.45 m → S 64.031338°
E100.233764°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
S 64.033744°
E100.228271°		 ← 267.43 m →
71 528 m²		 S 64.033744°
E100.233764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778419494628906 y=0.733512878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778419494628906 × 216)
    floor (0.778419494628906 × 65536)
    floor (51014.5)     		tx = 51014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733512878417969 × 216)
    floor (0.733512878417969 × 65536)
    floor (48071.5)     		ty = 48071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51014 / 48071 ti = "16/51014/48071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51014/48071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51014 ÷ 216
    51014 ÷ 65536     		x = 0.778411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48071 ÷ 216
    48071 ÷ 65536     		y = 0.733505249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778411865234375 × 2 - 1) × π
    0.55682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74931334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733505249023438 × 2 - 1) × π
    -0.467010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46715674977144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74931334} λ = 1.74931334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46715674977144))-π/2
    2×atan(0.23058015112354)-π/2
    2×0.226619321179567-π/2
    0.453238642359135-1.57079632675     		φ = -1.11755768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74931334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.228271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11755768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.031338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51014 KachelY 48071 1.74931334 -1.11755768 100.228271 -64.031338
    Oben rechts KachelX + 1 51015 KachelY 48071 1.74940921 -1.11755768 100.233764 -64.031338
    Unten links KachelX 51014 KachelY + 1 48072 1.74931334 -1.11759966 100.228271 -64.033744
    Unten rechts KachelX + 1 51015 KachelY + 1 48072 1.74940921 -1.11759966 100.233764 -64.033744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11755768--1.11759966) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11755768--1.11759966) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74931334-1.74940921) × cos(-1.11755768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437879477996823 × 6371000     		do = 267.451429894437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74931334-1.74940921) × cos(-1.11759966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.437841736176989 × 6371000     		du = 267.428377652466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11755768)-sin(-1.11759966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437879477996823-0.437841736176989)×R²
    abs(1.74940921-1.74931334)×3.77418198334589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77418198334589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77418198334589e-05×40589641000000     		ar = 71528.0271491927m²