Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51013 / 48691
↖ ↑ ↗
← S 65.483347°
E100.222778°		 ← 253.45 m → S 65.483347°
E100.228271°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 65.485626°
E100.222778°		 ← 253.43 m →
64 231 m²		 S 65.485626°
E100.228271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778404235839844 y=0.742973327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778404235839844 × 216)
    floor (0.778404235839844 × 65536)
    floor (51013.5)     		tx = 51013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742973327636719 × 216)
    floor (0.742973327636719 × 65536)
    floor (48691.5)     		ty = 48691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51013 / 48691 ti = "16/51013/48691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51013/48691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51013 ÷ 216
    51013 ÷ 65536     		x = 0.778396606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48691 ÷ 216
    48691 ÷ 65536     		y = 0.742965698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778396606445312 × 2 - 1) × π
    0.556793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74921747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742965698242188 × 2 - 1) × π
    -0.485931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52659850530031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74921747} λ = 1.74921747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52659850530031))-π/2
    2×atan(0.217273466339039)-π/2
    2×0.213948160402759-π/2
    0.427896320805518-1.57079632675     		φ = -1.14290001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74921747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.222778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14290001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.483347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51013 KachelY 48691 1.74921747 -1.14290001 100.222778 -65.483347
    Oben rechts KachelX + 1 51014 KachelY 48691 1.74931334 -1.14290001 100.228271 -65.483347
    Unten links KachelX 51013 KachelY + 1 48692 1.74921747 -1.14293979 100.222778 -65.485626
    Unten rechts KachelX + 1 51014 KachelY + 1 48692 1.74931334 -1.14293979 100.228271 -65.485626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14290001--1.14293979) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14290001--1.14293979) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74921747-1.74931334) × cos(-1.14290001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414957705430999 × 6371000     		do = 253.451091544511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74921747-1.74931334) × cos(-1.14293979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414921511639565 × 6371000     		du = 253.428984819353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14290001)-sin(-1.14293979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414957705430999-0.414921511639565)×R²
    abs(1.74931334-1.74921747)×3.61937914338251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61937914338251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61937914338251e-05×40589641000000     		ar = 64231.4327124983m²