Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51013 / 48233
↖ ↑ ↗
← S 64.418293°
E100.222778°		 ← 263.74 m → S 64.418293°
E100.228271°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 64.420666°
E100.222778°		 ← 263.71 m →
69 560 m²		 S 64.420666°
E100.228271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778404235839844 y=0.735984802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778404235839844 × 216)
    floor (0.778404235839844 × 65536)
    floor (51013.5)     		tx = 51013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735984802246094 × 216)
    floor (0.735984802246094 × 65536)
    floor (48233.5)     		ty = 48233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51013 / 48233 ti = "16/51013/48233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51013/48233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51013 ÷ 216
    51013 ÷ 65536     		x = 0.778396606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48233 ÷ 216
    48233 ÷ 65536     		y = 0.735977172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778396606445312 × 2 - 1) × π
    0.556793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74921747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735977172851562 × 2 - 1) × π
    -0.471954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48268830524834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74921747} λ = 1.74921747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48268830524834))-π/2
    2×atan(0.227026550621895)-π/2
    2×0.223242503230879-π/2
    0.446485006461758-1.57079632675     		φ = -1.12431132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74921747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.222778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12431132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.418293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51013 KachelY 48233 1.74921747 -1.12431132 100.222778 -64.418293
    Oben rechts KachelX + 1 51014 KachelY 48233 1.74931334 -1.12431132 100.228271 -64.418293
    Unten links KachelX 51013 KachelY + 1 48234 1.74921747 -1.12435272 100.222778 -64.420666
    Unten rechts KachelX + 1 51014 KachelY + 1 48234 1.74931334 -1.12435272 100.228271 -64.420666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12431132--1.12435272) × R
    4.14000000001913e-05 × 6371000     		dl = 263.759400001219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12431132--1.12435272) × R
    4.14000000001913e-05 × 6371000     		dr = 263.759400001219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74921747-1.74931334) × cos(-1.12431132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431797788147027 × 6371000     		do = 263.736808113249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74921747-1.74931334) × cos(-1.12435272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431760446200882 × 6371000     		du = 263.714000109236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12431132)-sin(-1.12435272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431797788147027-0.431760446200882)×R²
    abs(1.74931334-1.74921747)×3.73419461447422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73419461447422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73419461447422e-05×40589641000000     		ar = 69560.0543633911m²