Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51012 / 48694
↖ ↑ ↗
← S 65.490184°
E100.217285°		 ← 253.41 m → S 65.490184°
E100.222778°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 65.492463°
E100.217285°		 ← 253.39 m →
64 205 m²		 S 65.492463°
E100.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778388977050781 y=0.743019104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778388977050781 × 216)
    floor (0.778388977050781 × 65536)
    floor (51012.5)     		tx = 51012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743019104003906 × 216)
    floor (0.743019104003906 × 65536)
    floor (48694.5)     		ty = 48694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51012 / 48694 ti = "16/51012/48694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51012/48694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51012 ÷ 216
    51012 ÷ 65536     		x = 0.77838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48694 ÷ 216
    48694 ÷ 65536     		y = 0.743011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77838134765625 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74912159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.48602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52688612669803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74912159} λ = 1.74912159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52688612669803))-π/2
    2×atan(0.217210982827191)-π/2
    2×0.213888492852291-π/2
    0.427776985704582-1.57079632675     		φ = -1.14301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74912159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.490184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51012 KachelY 48694 1.74912159 -1.14301934 100.217285 -65.490184
    Oben rechts KachelX + 1 51013 KachelY 48694 1.74921747 -1.14301934 100.222778 -65.490184
    Unten links KachelX 51012 KachelY + 1 48695 1.74912159 -1.14305911 100.217285 -65.492463
    Unten rechts KachelX + 1 51013 KachelY + 1 48695 1.74921747 -1.14305911 100.222778 -65.492463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14301934--1.14305911) × R
    3.97700000001056e-05 × 6371000     		dl = 253.374670000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14301934--1.14305911) × R
    3.97700000001056e-05 × 6371000     		dr = 253.374670000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74912159-1.74921747) × cos(-1.14301934) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414849131185881 × 6371000     		do = 253.41120576203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74912159-1.74921747) × cos(-1.14305911) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414812944524076 × 6371000     		du = 253.38910108611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14301934)-sin(-1.14305911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414849131185881-0.414812944524076)×R²
    abs(1.74921747-1.74912159)×3.61866618055484e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.61866618055484e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.61866618055484e-05×40589641000000     		ar = 64205.1802604235m²