Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51010 / 48066
↖ ↑ ↗
← S 64.019309°
E100.206299°		 ← 267.57 m → S 64.019309°
E100.211792°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
S 64.021716°
E100.206299°		 ← 267.54 m →
71 593 m²		 S 64.021716°
E100.211792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778358459472656 y=0.733436584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778358459472656 × 216)
    floor (0.778358459472656 × 65536)
    floor (51010.5)     		tx = 51010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733436584472656 × 216)
    floor (0.733436584472656 × 65536)
    floor (48066.5)     		ty = 48066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51010 / 48066 ti = "16/51010/48066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51010/48066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51010 ÷ 216
    51010 ÷ 65536     		x = 0.778350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48066 ÷ 216
    48066 ÷ 65536     		y = 0.733428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    0.55670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74892985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.46685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46667738077524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74892985} λ = 1.74892985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46667738077524))-π/2
    2×atan(0.230690710596402)-π/2
    2×0.226724296719723-π/2
    0.453448593439446-1.57079632675     		φ = -1.11734773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74892985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11734773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.019309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51010 KachelY 48066 1.74892985 -1.11734773 100.206299 -64.019309
    Oben rechts KachelX + 1 51011 KachelY 48066 1.74902572 -1.11734773 100.211792 -64.019309
    Unten links KachelX 51010 KachelY + 1 48067 1.74892985 -1.11738973 100.206299 -64.021716
    Unten rechts KachelX + 1 51011 KachelY + 1 48067 1.74902572 -1.11738973 100.211792 -64.021716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11734773--1.11738973) × R
    4.19999999998755e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11734773--1.11738973) × R
    4.19999999998755e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74892985-1.74902572) × cos(-1.11734773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438068220466487 × 6371000     		do = 267.566711486588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74892985-1.74902572) × cos(-1.11738973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438030464527456 × 6371000     		du = 267.543650620783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11734773)-sin(-1.11738973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438068220466487-0.438030464527456)×R²
    abs(1.74902572-1.74892985)×3.77559390315474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77559390315474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77559390315474e-05×40589641000000     		ar = 71592.9504672067m²