Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5101 / 7187
↖ ↑ ↗
← S 79.327083°
E 44.165039°		 ← 904.99 m → S 79.327083°
E 44.208985°		 →
↑
904.68 m
↓
↑
904.68 m
↓
S 79.335219°
E 44.165039°		 ← 904.31 m →
818 419 m²		 S 79.335219°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62274169921875 y=0.87738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62274169921875 × 213)
    floor (0.62274169921875 × 8192)
    floor (5101.5)     		tx = 5101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87738037109375 × 213)
    floor (0.87738037109375 × 8192)
    floor (7187.5)     		ty = 7187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5101 / 7187 ti = "13/5101/7187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5101/7187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5101 ÷ 213
    5101 ÷ 8192     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7187 ÷ 213
    7187 ÷ 8192     		y = 0.8773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3707673076095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3707673076095))-π/2
    2×atan(0.0934090253173083)-π/2
    2×0.0931387665156034-π/2
    0.186277533031207-1.57079632675     		φ = -1.38451879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38451879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.327083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5101 KachelY 7187 0.77082535 -1.38451879 44.165039 -79.327083
    Oben rechts KachelX + 1 5102 KachelY 7187 0.77159234 -1.38451879 44.208985 -79.327083
    Unten links KachelX 5101 KachelY + 1 7188 0.77082535 -1.38466079 44.165039 -79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 5102 KachelY + 1 7188 0.77159234 -1.38466079 44.208985 -79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38451879--1.38466079) × R
    0.000142000000000087 × 6371000     		dl = 904.682000000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38451879--1.38466079) × R
    0.000142000000000087 × 6371000     		dr = 904.682000000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(-1.38451879) × R
    0.000766990000000023 × 0.185202120304105 × 6371000     		do = 904.98891815981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(-1.38466079) × R
    0.000766990000000023 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 904.30703083792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38451879)-sin(-1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185202120304105-0.185062574973451)×R²
    abs(0.77159234-0.77082535)×0.00013954533065369×R²
    0.000766990000000023×0.00013954533065369×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013954533065369×40589641000000     		ar = 818418.740239042m²