Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5101 / 1243
↖ ↑ ↗
← N 77.205912°
E 44.165039°		 ← 1 082.10 m → N 77.205912°
E 44.208985°		 →
↑
1 082.50 m
↓
↑
1 082.50 m
↓
N 77.196177°
E 44.165039°		 ← 1 082.91 m →
1 171 812 m²		 N 77.196177°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62274169921875 y=0.15179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62274169921875 × 213)
    floor (0.62274169921875 × 8192)
    floor (5101.5)     		tx = 5101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15179443359375 × 213)
    floor (0.15179443359375 × 8192)
    floor (1243.5)     		ty = 1243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5101 / 1243 ti = "13/5101/1243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5101/1243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5101 ÷ 213
    5101 ÷ 8192     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1243 ÷ 213
    1243 ÷ 8192     		y = 0.1517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1517333984375 × 2 - 1) × π
    0.696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18822359385632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18822359385632))-π/2
    2×atan(8.91935463694567)-π/2
    2×1.45914684307286-π/2
    2.91829368614571-1.57079632675     		φ = 1.34749736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34749736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.205912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5101 KachelY 1243 0.77082535 1.34749736 44.165039 77.205912
    Oben rechts KachelX + 1 5102 KachelY 1243 0.77159234 1.34749736 44.208985 77.205912
    Unten links KachelX 5101 KachelY + 1 1244 0.77082535 1.34732745 44.165039 77.196177
    Unten rechts KachelX + 1 5102 KachelY + 1 1244 0.77159234 1.34732745 44.208985 77.196177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34749736-1.34732745) × R
    0.000169909999999884 × 6371000     		dl = 1082.49660999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34749736-1.34732745) × R
    0.000169909999999884 × 6371000     		dr = 1082.49660999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.34749736) × R
    0.000766990000000023 × 0.221447883006523 × 6371000     		do = 1082.10359439611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.34732745) × R
    0.000766990000000023 × 0.221613571319039 × 6371000     		du = 1082.91322922346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34749736)-sin(1.34732745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221447883006523-0.221613571319039)×R²
    abs(0.77159234-0.77082535)×0.00016568831251676×R²
    0.000766990000000023×0.00016568831251676×6371000²
    0.000766990000000023×0.00016568831251676×40589641000000     		ar = 1171811.68889946m²