Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5101 / 1230
↖ ↑ ↗
← N 77.331809°
E 44.165039°		 ← 1 071.63 m → N 77.331809°
E 44.208985°		 →
↑
1 072.05 m
↓
↑
1 072.05 m
↓
N 77.322168°
E 44.165039°		 ← 1 072.43 m →
1 149 269 m²		 N 77.322168°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62274169921875 y=0.15020751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62274169921875 × 213)
    floor (0.62274169921875 × 8192)
    floor (5101.5)     		tx = 5101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15020751953125 × 213)
    floor (0.15020751953125 × 8192)
    floor (1230.5)     		ty = 1230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5101 / 1230 ti = "13/5101/1230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5101/1230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5101 ÷ 213
    5101 ÷ 8192     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1230 ÷ 213
    1230 ÷ 8192     		y = 0.150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150146484375 × 2 - 1) × π
    0.69970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19819446897729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19819446897729))-π/2
    2×atan(9.00873325924264)-π/2
    2×1.46024550679354-π/2
    2.92049101358709-1.57079632675     		φ = 1.34969469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34969469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.331809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5101 KachelY 1230 0.77082535 1.34969469 44.165039 77.331809
    Oben rechts KachelX + 1 5102 KachelY 1230 0.77159234 1.34969469 44.208985 77.331809
    Unten links KachelX 5101 KachelY + 1 1231 0.77082535 1.34952642 44.165039 77.322168
    Unten rechts KachelX + 1 5102 KachelY + 1 1231 0.77159234 1.34952642 44.208985 77.322168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34969469-1.34952642) × R
    0.000168270000000081 × 6371000     		dl = 1072.04817000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34969469-1.34952642) × R
    0.000168270000000081 × 6371000     		dr = 1072.04817000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.34969469) × R
    0.000766990000000023 × 0.219304574979526 × 6371000     		do = 1071.63033410379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.34952642) × R
    0.000766990000000023 × 0.219468745584377 × 6371000     		du = 1072.43255266281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34969469)-sin(1.34952642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219304574979526-0.219468745584377)×R²
    abs(0.77159234-0.77082535)×0.000164170604850966×R²
    0.000766990000000023×0.000164170604850966×6371000²
    0.000766990000000023×0.000164170604850966×40589641000000     		ar = 1149269.34977607m²