Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5101 / 1067
↖ ↑ ↗
← N 78.810511°
E 44.165039°		 ← 948.25 m → N 78.810511°
E 44.208985°		 →
↑
948.58 m
↓
↑
948.58 m
↓
N 78.801980°
E 44.165039°		 ← 948.96 m →
899 823 m²		 N 78.801980°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62274169921875 y=0.13031005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62274169921875 × 213)
    floor (0.62274169921875 × 8192)
    floor (5101.5)     		tx = 5101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13031005859375 × 213)
    floor (0.13031005859375 × 8192)
    floor (1067.5)     		ty = 1067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5101 / 1067 ti = "13/5101/1067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5101/1067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5101 ÷ 213
    5101 ÷ 8192     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1067 ÷ 213
    1067 ÷ 8192     		y = 0.1302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1302490234375 × 2 - 1) × π
    0.739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3232139031864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3232139031864))-π/2
    2×atan(10.2084305476486)-π/2
    2×1.47314961413878-π/2
    2.94629922827755-1.57079632675     		φ = 1.37550290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37550290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.810511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5101 KachelY 1067 0.77082535 1.37550290 44.165039 78.810511
    Oben rechts KachelX + 1 5102 KachelY 1067 0.77159234 1.37550290 44.208985 78.810511
    Unten links KachelX 5101 KachelY + 1 1068 0.77082535 1.37535401 44.165039 78.801980
    Unten rechts KachelX + 1 5102 KachelY + 1 1068 0.77159234 1.37535401 44.208985 78.801980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37550290-1.37535401) × R
    0.000148890000000179 × 6371000     		dl = 948.578190001141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37550290-1.37535401) × R
    0.000148890000000179 × 6371000     		dr = 948.578190001141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.37550290) × R
    0.000766990000000023 × 0.194054392290028 × 6371000     		do = 948.245485820277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77159234) × cos(1.37535401) × R
    0.000766990000000023 × 0.194200449854465 × 6371000     		du = 948.959195128851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37550290)-sin(1.37535401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194054392290028-0.194200449854465)×R²
    abs(0.77159234-0.77082535)×0.000146057564436808×R²
    0.000766990000000023×0.000146057564436808×6371000²
    0.000766990000000023×0.000146057564436808×40589641000000     		ar = 899823.492820527m²