Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51004 / 48868
↖ ↑ ↗
← S 65.883704°
E100.173340°		 ← 249.59 m → S 65.883704°
E100.178833°		 →
↑
249.55 m
↓
↑
249.55 m
↓
S 65.885948°
E100.173340°		 ← 249.57 m →
62 282 m²		 S 65.885948°
E100.178833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778266906738281 y=0.745674133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778266906738281 × 216)
    floor (0.778266906738281 × 65536)
    floor (51004.5)     		tx = 51004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745674133300781 × 216)
    floor (0.745674133300781 × 65536)
    floor (48868.5)     		ty = 48868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51004 / 48868 ti = "16/51004/48868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51004/48868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51004 ÷ 216
    51004 ÷ 65536     		x = 0.77825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48868 ÷ 216
    48868 ÷ 65536     		y = 0.74566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77825927734375 × 2 - 1) × π
    0.5565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74835460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74835460} λ = 1.74835460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54356816776581))-π/2
    2×atan(0.213617516800445)-π/2
    2×0.210454383852242-π/2
    0.420908767704485-1.57079632675     		φ = -1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74835460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51004 KachelY 48868 1.74835460 -1.14988756 100.173340 -65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 51005 KachelY 48868 1.74845048 -1.14988756 100.178833 -65.883704
    Unten links KachelX 51004 KachelY + 1 48869 1.74835460 -1.14992673 100.173340 -65.885948
    Unten rechts KachelX + 1 51005 KachelY + 1 48869 1.74845048 -1.14992673 100.178833 -65.885948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14988756--1.14992673) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dl = 249.552069999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14988756--1.14992673) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dr = 249.552069999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74835460-1.74845048) × cos(-1.14988756) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 249.587848654497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74835460-1.74845048) × cos(-1.14992673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408554318001519 × 6371000     		du = 249.566009811455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14988756)-sin(-1.14992673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408554318001519)×R²
    abs(1.74845048-1.74835460)×3.57514776614942e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.57514776614942e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.57514776614942e-05×40589641000000     		ar = 62282.4393222407m²