Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51001 / 48298
↖ ↑ ↗
← S 64.572036°
E100.156860°		 ← 262.28 m → S 64.572036°
E100.162354°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
S 64.574395°
E100.156860°		 ← 262.26 m →
68 793 m²		 S 64.574395°
E100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778221130371094 y=0.736976623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778221130371094 × 216)
    floor (0.778221130371094 × 65536)
    floor (51001.5)     		tx = 51001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736976623535156 × 216)
    floor (0.736976623535156 × 65536)
    floor (48298.5)     		ty = 48298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51001 / 48298 ti = "16/51001/48298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51001/48298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51001 ÷ 216
    51001 ÷ 65536     		x = 0.778213500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48298 ÷ 216
    48298 ÷ 65536     		y = 0.736968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778213500976562 × 2 - 1) × π
    0.556427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74806698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736968994140625 × 2 - 1) × π
    -0.47393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48892010219894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74806698} λ = 1.74806698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48892010219894))-π/2
    2×atan(0.225616166434349)-π/2
    2×0.221900840983759-π/2
    0.443801681967517-1.57079632675     		φ = -1.12699464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74806698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12699464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.572036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51001 KachelY 48298 1.74806698 -1.12699464 100.156860 -64.572036
    Oben rechts KachelX + 1 51002 KachelY 48298 1.74816286 -1.12699464 100.162354 -64.572036
    Unten links KachelX 51001 KachelY + 1 48299 1.74806698 -1.12703581 100.156860 -64.574395
    Unten rechts KachelX + 1 51002 KachelY + 1 48299 1.74816286 -1.12703581 100.162354 -64.574395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12699464--1.12703581) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12699464--1.12703581) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74806698-1.74816286) × cos(-1.12699464) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.429375961221419 × 6371000     		do = 262.284941388962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74806698-1.74816286) × cos(-1.12703581) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.429338779166683 × 6371000     		du = 262.262228675797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12699464)-sin(-1.12703581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429375961221419-0.429338779166683)×R²
    abs(1.74816286-1.74806698)×3.71820547357404e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.71820547357404e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.71820547357404e-05×40589641000000     		ar = 68792.8060813871m²