Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51001 / 48286
↖ ↑ ↗
← S 64.543719°
E100.156860°		 ← 262.56 m → S 64.543719°
E100.162354°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 64.546079°
E100.156860°		 ← 262.53 m →
68 914 m²		 S 64.546079°
E100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778221130371094 y=0.736793518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778221130371094 × 216)
    floor (0.778221130371094 × 65536)
    floor (51001.5)     		tx = 51001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736793518066406 × 216)
    floor (0.736793518066406 × 65536)
    floor (48286.5)     		ty = 48286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51001 / 48286 ti = "16/51001/48286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51001/48286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51001 ÷ 216
    51001 ÷ 65536     		x = 0.778213500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48286 ÷ 216
    48286 ÷ 65536     		y = 0.736785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778213500976562 × 2 - 1) × π
    0.556427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74806698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.47357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48776961660806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74806698} λ = 1.74806698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48776961660806))-π/2
    2×atan(0.225875883954887)-π/2
    2×0.222147964762106-π/2
    0.444295929524212-1.57079632675     		φ = -1.12650040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74806698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12650040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.543719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51001 KachelY 48286 1.74806698 -1.12650040 100.156860 -64.543719
    Oben rechts KachelX + 1 51002 KachelY 48286 1.74816286 -1.12650040 100.162354 -64.543719
    Unten links KachelX 51001 KachelY + 1 48287 1.74806698 -1.12654160 100.156860 -64.546079
    Unten rechts KachelX + 1 51002 KachelY + 1 48287 1.74816286 -1.12654160 100.162354 -64.546079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12650040--1.12654160) × R
    4.11999999998525e-05 × 6371000     		dl = 262.48519999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12650040--1.12654160) × R
    4.11999999998525e-05 × 6371000     		dr = 262.48519999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74806698-1.74816286) × cos(-1.12650040) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.429822269676181 × 6371000     		do = 262.55756956909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74806698-1.74816286) × cos(-1.12654160) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.429785069274554 × 6371000     		du = 262.534845648699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12650040)-sin(-1.12654160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429822269676181-0.429785069274554)×R²
    abs(1.74816286-1.74806698)×3.72004016270799e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.72004016270799e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.72004016270799e-05×40589641000000     		ar = 68914.4938229682m²