Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51000 / 48859
↖ ↑ ↗
← S 65.863496°
E100.151367°		 ← 249.76 m → S 65.863496°
E100.156860°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
S 65.865742°
E100.151367°		 ← 249.74 m →
62 373 m²		 S 65.865742°
E100.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778205871582031 y=0.745536804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778205871582031 × 216)
    floor (0.778205871582031 × 65536)
    floor (51000.5)     		tx = 51000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745536804199219 × 216)
    floor (0.745536804199219 × 65536)
    floor (48859.5)     		ty = 48859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51000 / 48859 ti = "16/51000/48859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51000/48859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51000 ÷ 216
    51000 ÷ 65536     		x = 0.7781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48859 ÷ 216
    48859 ÷ 65536     		y = 0.745529174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745529174804688 × 2 - 1) × π
    -0.491058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54270530357265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74797111} λ = 1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54270530357265))-π/2
    2×atan(0.213801919252419)-π/2
    2×0.210630732151849-π/2
    0.421261464303699-1.57079632675     		φ = -1.14953486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14953486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.863496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51000 KachelY 48859 1.74797111 -1.14953486 100.151367 -65.863496
    Oben rechts KachelX + 1 51001 KachelY 48859 1.74806698 -1.14953486 100.156860 -65.863496
    Unten links KachelX 51000 KachelY + 1 48860 1.74797111 -1.14957406 100.151367 -65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 51001 KachelY + 1 48860 1.74806698 -1.14957406 100.156860 -65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14953486--1.14957406) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14953486--1.14957406) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74797111-1.74806698) × cos(-1.14953486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408911959698827 × 6371000     		do = 249.758423990771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74797111-1.74806698) × cos(-1.14957406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 249.736574152462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14953486)-sin(-1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408911959698827-0.408876186490223)×R²
    abs(1.74806698-1.74797111)×3.5773208603096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5773208603096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5773208603096e-05×40589641000000     		ar = 62372.7396181589m²