Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5100 / 7188
↖ ↑ ↗
← S 79.335219°
E 44.121094°		 ← 904.31 m → S 79.335219°
E 44.165039°		 →
↑
903.98 m
↓
↑
903.98 m
↓
S 79.343349°
E 44.121094°		 ← 903.63 m →
817 169 m²		 S 79.343349°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62261962890625 y=0.87750244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62261962890625 × 213)
    floor (0.62261962890625 × 8192)
    floor (5100.5)     		tx = 5100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87750244140625 × 213)
    floor (0.87750244140625 × 8192)
    floor (7188.5)     		ty = 7188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5100 / 7188 ti = "13/5100/7188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5100/7188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5100 ÷ 213
    5100 ÷ 8192     		x = 0.62255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7188 ÷ 213
    7188 ÷ 8192     		y = 0.87744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77005836} λ = 0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37153429800342))-π/2
    2×atan(0.0933374089602242)-π/2
    2×0.0930677691531483-π/2
    0.186135538306297-1.57079632675     		φ = -1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5100 KachelY 7188 0.77005836 -1.38466079 44.121094 -79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 5101 KachelY 7188 0.77082535 -1.38466079 44.165039 -79.335219
    Unten links KachelX 5100 KachelY + 1 7189 0.77005836 -1.38480268 44.121094 -79.343349
    Unten rechts KachelX + 1 5101 KachelY + 1 7189 0.77082535 -1.38480268 44.165039 -79.343349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38466079--1.38480268) × R
    0.000141889999999867 × 6371000     		dl = 903.981189999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38466079--1.38480268) × R
    0.000141889999999867 × 6371000     		dr = 903.981189999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77005836-0.77082535) × cos(-1.38466079) × R
    0.000766989999999912 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 904.307030837789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77005836-0.77082535) × cos(-1.38480268) × R
    0.000766989999999912 × 0.184923134014026 × 6371000     		du = 903.625653525205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38466079)-sin(-1.38480268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.184923134014026)×R²
    abs(0.77082535-0.77005836)×0.000139440959425474×R²
    0.000766989999999912×0.000139440959425474×6371000²
    0.000766989999999912×0.000139440959425474×40589641000000     		ar = 817168.571096958m²