Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5100 / 1231
↖ ↑ ↗
← N 77.322168°
E 44.121094°		 ← 1 072.43 m → N 77.322168°
E 44.165039°		 →
↑
1 072.81 m
↓
↑
1 072.81 m
↓
N 77.312520°
E 44.121094°		 ← 1 073.24 m →
1 150 950 m²		 N 77.312520°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62261962890625 y=0.15032958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62261962890625 × 213)
    floor (0.62261962890625 × 8192)
    floor (5100.5)     		tx = 5100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15032958984375 × 213)
    floor (0.15032958984375 × 8192)
    floor (1231.5)     		ty = 1231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5100 / 1231 ti = "13/5100/1231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5100/1231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5100 ÷ 213
    5100 ÷ 8192     		x = 0.62255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1231 ÷ 213
    1231 ÷ 8192     		y = 0.1502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1502685546875 × 2 - 1) × π
    0.699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19742747858337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77005836} λ = 0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19742747858337))-π/2
    2×atan(9.00182629649705)-π/2
    2×1.46016137306605-π/2
    2.9203227461321-1.57079632675     		φ = 1.34952642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34952642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.322168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5100 KachelY 1231 0.77005836 1.34952642 44.121094 77.322168
    Oben rechts KachelX + 1 5101 KachelY 1231 0.77082535 1.34952642 44.165039 77.322168
    Unten links KachelX 5100 KachelY + 1 1232 0.77005836 1.34935803 44.121094 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 5101 KachelY + 1 1232 0.77082535 1.34935803 44.165039 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34952642-1.34935803) × R
    0.000168389999999796 × 6371000     		dl = 1072.8126899987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34952642-1.34935803) × R
    0.000168389999999796 × 6371000     		dr = 1072.8126899987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77005836-0.77082535) × cos(1.34952642) × R
    0.000766989999999912 × 0.219468745584377 × 6371000     		do = 1072.43255266265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77005836-0.77082535) × cos(1.34935803) × R
    0.000766989999999912 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 1073.23531291729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34952642)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219468745584377-0.219633027044924)×R²
    abs(0.77082535-0.77005836)×0.000164281460547505×R²
    0.000766989999999912×0.000164281460547505×6371000²
    0.000766989999999912×0.000164281460547505×40589641000000     		ar = 1150949.86007866m²