Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50999 / 49517
↖ ↑ ↗
← S 67.299617°
E100.145874°		 ← 235.74 m → S 67.299617°
E100.151367°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 67.301737°
E100.145874°		 ← 235.71 m →
55 567 m²		 S 67.301737°
E100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778190612792969 y=0.755577087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778190612792969 × 216)
    floor (0.778190612792969 × 65536)
    floor (50999.5)     		tx = 50999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755577087402344 × 216)
    floor (0.755577087402344 × 65536)
    floor (49517.5)     		ty = 49517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50999 / 49517 ti = "16/50999/49517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50999/49517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50999 ÷ 216
    50999 ÷ 65536     		x = 0.778182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49517 ÷ 216
    49517 ÷ 65536     		y = 0.755569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778182983398438 × 2 - 1) × π
    0.556365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74787523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755569458007812 × 2 - 1) × π
    -0.511138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60579026347264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74787523} λ = 1.74787523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60579026347264))-π/2
    2×atan(0.200730861945837)-π/2
    2×0.198098212847081-π/2
    0.396196425694163-1.57079632675     		φ = -1.17459990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74787523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17459990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.299617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50999 KachelY 49517 1.74787523 -1.17459990 100.145874 -67.299617
    Oben rechts KachelX + 1 51000 KachelY 49517 1.74797111 -1.17459990 100.151367 -67.299617
    Unten links KachelX 50999 KachelY + 1 49518 1.74787523 -1.17463690 100.145874 -67.301737
    Unten rechts KachelX + 1 51000 KachelY + 1 49518 1.74797111 -1.17463690 100.151367 -67.301737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17459990--1.17463690) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dl = 235.727000000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17459990--1.17463690) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dr = 235.727000000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74787523-1.74797111) × cos(-1.17459990) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38591221095167 × 6371000     		do = 235.735045209745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74787523-1.74797111) × cos(-1.17463690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385878076873686 × 6371000     		du = 235.71419435769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17459990)-sin(-1.17463690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38591221095167-0.385878076873686)×R²
    abs(1.74797111-1.74787523)×3.41340779836385e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41340779836385e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41340779836385e-05×40589641000000     		ar = 55566.657454513m²