Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50998 / 48860
↖ ↑ ↗
← S 65.865742°
E100.140381°		 ← 249.74 m → S 65.865742°
E100.145874°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
S 65.867988°
E100.140381°		 ← 249.71 m →
62 367 m²		 S 65.867988°
E100.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778175354003906 y=0.745552062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778175354003906 × 216)
    floor (0.778175354003906 × 65536)
    floor (50998.5)     		tx = 50998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745552062988281 × 216)
    floor (0.745552062988281 × 65536)
    floor (48860.5)     		ty = 48860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50998 / 48860 ti = "16/50998/48860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50998/48860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50998 ÷ 216
    50998 ÷ 65536     		x = 0.778167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48860 ÷ 216
    48860 ÷ 65536     		y = 0.74554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    0.55633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74777936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.4910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54280117737189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74777936} λ = 1.74777936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54280117737189))-π/2
    2×atan(0.213781422232715)-π/2
    2×0.21061113103788-π/2
    0.42122226207576-1.57079632675     		φ = -1.14957406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74777936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14957406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.865742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50998 KachelY 48860 1.74777936 -1.14957406 100.140381 -65.865742
    Oben rechts KachelX + 1 50999 KachelY 48860 1.74787523 -1.14957406 100.145874 -65.865742
    Unten links KachelX 50998 KachelY + 1 48861 1.74777936 -1.14961326 100.140381 -65.867988
    Unten rechts KachelX + 1 50999 KachelY + 1 48861 1.74787523 -1.14961326 100.145874 -65.867988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14957406--1.14961326) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14957406--1.14961326) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74777936-1.74787523) × cos(-1.14957406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		do = 249.736574152462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74777936-1.74787523) × cos(-1.14961326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408840412653325 × 6371000     		du = 249.714723930399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14957406)-sin(-1.14961326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408876186490223-0.408840412653325)×R²
    abs(1.74787523-1.74777936)×3.57738368985672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57738368985672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57738368985672e-05×40589641000000     		ar = 62367.2827219164m²