Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50996 / 49428
↖ ↑ ↗
← S 67.110203°
E100.129394°		 ← 237.60 m → S 67.110203°
E100.134888°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 67.112340°
E100.129394°		 ← 237.58 m →
56 444 m²		 S 67.112340°
E100.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778144836425781 y=0.754219055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778144836425781 × 216)
    floor (0.778144836425781 × 65536)
    floor (50996.5)     		tx = 50996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754219055175781 × 216)
    floor (0.754219055175781 × 65536)
    floor (49428.5)     		ty = 49428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50996 / 49428 ti = "16/50996/49428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50996/49428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50996 ÷ 216
    50996 ÷ 65536     		x = 0.77813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49428 ÷ 216
    49428 ÷ 65536     		y = 0.75421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74758761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.5084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59725749534027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74758761} λ = 1.74758761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59725749534027))-π/2
    2×atan(0.202450980095963)-π/2
    2×0.19975115682905-π/2
    0.3995023136581-1.57079632675     		φ = -1.17129401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74758761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.129394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17129401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.110203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50996 KachelY 49428 1.74758761 -1.17129401 100.129394 -67.110203
    Oben rechts KachelX + 1 50997 KachelY 49428 1.74768349 -1.17129401 100.134888 -67.110203
    Unten links KachelX 50996 KachelY + 1 49429 1.74758761 -1.17133130 100.129394 -67.112340
    Unten rechts KachelX + 1 50997 KachelY + 1 49429 1.74768349 -1.17133130 100.134888 -67.112340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17129401--1.17133130) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dl = 237.574590000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17129401--1.17133130) × R
    3.72900000000786e-05 × 6371000     		dr = 237.574590000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74758761-1.74768349) × cos(-1.17129401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388959897512747 × 6371000     		do = 237.596729056154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74758761-1.74768349) × cos(-1.17133130) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		du = 237.575743951335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17129401)-sin(-1.17133130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388959897512747-0.388925543655048)×R²
    abs(1.74768349-1.74758761)×3.43538576993985e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43538576993985e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43538576993985e-05×40589641000000     		ar = 56444.4527337897m²