Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50995 / 49431
↖ ↑ ↗
← S 67.116612°
E100.123901°		 ← 237.51 m → S 67.116612°
E100.129394°		 →
↑
237.51 m
↓
↑
237.51 m
↓
S 67.118748°
E100.123901°		 ← 237.49 m →
56 408 m²		 S 67.118748°
E100.129394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778129577636719 y=0.754264831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778129577636719 × 216)
    floor (0.778129577636719 × 65536)
    floor (50995.5)     		tx = 50995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754264831542969 × 216)
    floor (0.754264831542969 × 65536)
    floor (49431.5)     		ty = 49431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50995 / 49431 ti = "16/50995/49431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50995/49431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50995 ÷ 216
    50995 ÷ 65536     		x = 0.778121948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49431 ÷ 216
    49431 ÷ 65536     		y = 0.754257202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778121948242188 × 2 - 1) × π
    0.556243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74749174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.508514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59754511673799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74749174} λ = 1.74749174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59754511673799))-π/2
    2×atan(0.202392759235282)-π/2
    2×0.199695227645069-π/2
    0.399390455290138-1.57079632675     		φ = -1.17140587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74749174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.123901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17140587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.116612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50995 KachelY 49431 1.74749174 -1.17140587 100.123901 -67.116612
    Oben rechts KachelX + 1 50996 KachelY 49431 1.74758761 -1.17140587 100.129394 -67.116612
    Unten links KachelX 50995 KachelY + 1 49432 1.74749174 -1.17144315 100.123901 -67.118748
    Unten rechts KachelX + 1 50996 KachelY + 1 49432 1.74758761 -1.17144315 100.129394 -67.118748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17140587--1.17144315) × R
    3.72799999999174e-05 × 6371000     		dl = 237.510879999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17140587--1.17144315) × R
    3.72799999999174e-05 × 6371000     		dr = 237.510879999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74749174-1.74758761) × cos(-1.17140587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388856843530224 × 6371000     		do = 237.509004309059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74749174-1.74758761) × cos(-1.17144315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388822497263486 × 6371000     		du = 237.48802602939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17140587)-sin(-1.17144315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388856843530224-0.388822497263486)×R²
    abs(1.74758761-1.74749174)×3.4346266738372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4346266738372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4346266738372e-05×40589641000000     		ar = 56408.481342891m²