Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50994 / 48847
↖ ↑ ↗
← S 65.836527°
E100.118408°		 ← 250.05 m → S 65.836527°
E100.123901°		 →
↑
250 m
↓
↑
250 m
↓
S 65.838776°
E100.118408°		 ← 250.02 m →
62 508 m²		 S 65.838776°
E100.123901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778114318847656 y=0.745353698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778114318847656 × 216)
    floor (0.778114318847656 × 65536)
    floor (50994.5)     		tx = 50994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745353698730469 × 216)
    floor (0.745353698730469 × 65536)
    floor (48847.5)     		ty = 48847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50994 / 48847 ti = "16/50994/48847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50994/48847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50994 ÷ 216
    50994 ÷ 65536     		x = 0.778106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48847 ÷ 216
    48847 ÷ 65536     		y = 0.745346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778106689453125 × 2 - 1) × π
    0.55621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74739586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745346069335938 × 2 - 1) × π
    -0.490692138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54155481798177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74739586} λ = 1.74739586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54155481798177))-π/2
    2×atan(0.214048036830038)-π/2
    2×0.210866079324883-π/2
    0.421732158649767-1.57079632675     		φ = -1.14906417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74739586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.118408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14906417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.836527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50994 KachelY 48847 1.74739586 -1.14906417 100.118408 -65.836527
    Oben rechts KachelX + 1 50995 KachelY 48847 1.74749174 -1.14906417 100.123901 -65.836527
    Unten links KachelX 50994 KachelY + 1 48848 1.74739586 -1.14910341 100.118408 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 50995 KachelY + 1 48848 1.74749174 -1.14910341 100.123901 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14906417--1.14910341) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dl = 249.998039999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14906417--1.14910341) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dr = 249.998039999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74739586-1.74749174) × cos(-1.14906417) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.40934145376559 × 6371000     		do = 250.046832858477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74739586-1.74749174) × cos(-1.14910341) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 250.024963058492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14906417)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40934145376559-0.409305651609581)×R²
    abs(1.74749174-1.74739586)×3.58021560092348e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.58021560092348e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.58021560092348e-05×40589641000000     		ar = 62508.4844272119m²