Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50994 / 48142
↖ ↑ ↗
← S 64.201596°
E100.118408°		 ← 265.85 m → S 64.201596°
E100.123901°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 64.203987°
E100.118408°		 ← 265.82 m →
70 658 m²		 S 64.203987°
E100.123901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778114318847656 y=0.734596252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778114318847656 × 216)
    floor (0.778114318847656 × 65536)
    floor (50994.5)     		tx = 50994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734596252441406 × 216)
    floor (0.734596252441406 × 65536)
    floor (48142.5)     		ty = 48142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50994 / 48142 ti = "16/50994/48142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50994/48142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50994 ÷ 216
    50994 ÷ 65536     		x = 0.778106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48142 ÷ 216
    48142 ÷ 65536     		y = 0.734588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778106689453125 × 2 - 1) × π
    0.55621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74739586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.46917724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47396378951749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74739586} λ = 1.74739586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47396378951749))-π/2
    2×atan(0.229015912826336)-π/2
    2×0.225133542823507-π/2
    0.450267085647014-1.57079632675     		φ = -1.12052924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74739586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.118408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12052924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.201596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50994 KachelY 48142 1.74739586 -1.12052924 100.118408 -64.201596
    Oben rechts KachelX + 1 50995 KachelY 48142 1.74749174 -1.12052924 100.123901 -64.201596
    Unten links KachelX 50994 KachelY + 1 48143 1.74739586 -1.12057096 100.118408 -64.203987
    Unten rechts KachelX + 1 50995 KachelY + 1 48143 1.74749174 -1.12057096 100.123901 -64.203987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12052924--1.12057096) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12052924--1.12057096) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74739586-1.74749174) × cos(-1.12052924) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.435206016124702 × 6371000     		do = 265.846239055119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74739586-1.74749174) × cos(-1.12057096) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.435168453940952 × 6371000     		du = 265.823294139584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12052924)-sin(-1.12057096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435206016124702-0.435168453940952)×R²
    abs(1.74749174-1.74739586)×3.75621837496731e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.75621837496731e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.75621837496731e-05×40589641000000     		ar = 70658.381202324m²