Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50993 / 49423
↖ ↑ ↗
← S 67.099518°
E100.112915°		 ← 237.68 m → S 67.099518°
E100.118408°		 →
↑
237.64 m
↓
↑
237.64 m
↓
S 67.101655°
E100.112915°		 ← 237.66 m →
56 479 m²		 S 67.101655°
E100.118408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778099060058594 y=0.754142761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778099060058594 × 216)
    floor (0.778099060058594 × 65536)
    floor (50993.5)     		tx = 50993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754142761230469 × 216)
    floor (0.754142761230469 × 65536)
    floor (49423.5)     		ty = 49423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50993 / 49423 ti = "16/50993/49423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50993/49423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50993 ÷ 216
    50993 ÷ 65536     		x = 0.778091430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49423 ÷ 216
    49423 ÷ 65536     		y = 0.754135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778091430664062 × 2 - 1) × π
    0.556182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74729999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.508270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59677812634407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74729999} λ = 1.74729999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59677812634407))-π/2
    2×atan(0.202548052083863)-π/2
    2×0.199844405074306-π/2
    0.399688810148613-1.57079632675     		φ = -1.17110752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74729999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.112915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17110752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.099518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50993 KachelY 49423 1.74729999 -1.17110752 100.112915 -67.099518
    Oben rechts KachelX + 1 50994 KachelY 49423 1.74739586 -1.17110752 100.118408 -67.099518
    Unten links KachelX 50993 KachelY + 1 49424 1.74729999 -1.17114482 100.112915 -67.101655
    Unten rechts KachelX + 1 50994 KachelY + 1 49424 1.74739586 -1.17114482 100.118408 -67.101655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17110752--1.17114482) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dl = 237.638300000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17110752--1.17114482) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dr = 237.638300000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74729999-1.74739586) × cos(-1.17110752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389131695534585 × 6371000     		do = 237.676880551883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74729999-1.74739586) × cos(-1.17114482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389097335170307 × 6371000     		du = 237.655893661609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17110752)-sin(-1.17114482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389131695534585-0.389097335170307)×R²
    abs(1.74739586-1.74729999)×3.43603642782297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43603642782297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43603642782297e-05×40589641000000     		ar = 56478.6362059324m²