Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50992 / 52016
↖ ↑ ↗
← N 34.777716°
W 39.946289°		 ← 250.87 m → N 34.777716°
W 39.943542°		 →
↑
250.89 m
↓
↑
250.89 m
↓
N 34.775460°
W 39.946289°		 ← 250.87 m →
62 941 m²		 N 34.775460°
W 39.943542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389041900634766 y=0.396854400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389041900634766 × 217)
    floor (0.389041900634766 × 131072)
    floor (50992.5)     		tx = 50992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396854400634766 × 217)
    floor (0.396854400634766 × 131072)
    floor (52016.5)     		ty = 52016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50992 / 52016 ti = "17/50992/52016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50992/52016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50992 ÷ 217
    50992 ÷ 131072     		x = 0.3890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52016 ÷ 217
    52016 ÷ 131072     		y = 0.3968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3968505859375 × 2 - 1) × π
    0.206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.648106882863159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69719427} λ = -0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.648106882863159))-π/2
    2×atan(1.91191791622533)-π/2
    2×1.08889098693772-π/2
    2.17778197387545-1.57079632675     		φ = 0.60698565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60698565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.777716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50992 KachelY 52016 -0.69719427 0.60698565 -39.946289 34.777716
    Oben rechts KachelX + 1 50993 KachelY 52016 -0.69714633 0.60698565 -39.943542 34.777716
    Unten links KachelX 50992 KachelY + 1 52017 -0.69719427 0.60694627 -39.946289 34.775460
    Unten rechts KachelX + 1 50993 KachelY + 1 52017 -0.69714633 0.60694627 -39.943542 34.775460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60698565-0.60694627) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dl = 250.889980000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60698565-0.60694627) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dr = 250.889980000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69719427--0.69714633) × cos(0.60698565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.821371114475261 × 6371000     		do = 250.867880453067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69719427--0.69714633) × cos(0.60694627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.821393575960203 × 6371000     		du = 250.874740768727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60698565)-sin(0.60694627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821371114475261-0.821393575960203)×R²
    abs(-0.69714633--0.69719427)×2.24614849418936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24614849418936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24614849418936e-05×40589641000000     		ar = 62941.0981100532m²