Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50991 / 81719
↖ ↑ ↗
← S 40.561808°
W 39.949035°		 ← 231.99 m → S 40.561808°
W 39.946289°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.563895°
W 39.949035°		 ← 231.98 m →
53 827 m²		 S 40.563895°
W 39.946289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389034271240234 y=0.623470306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389034271240234 × 217)
    floor (0.389034271240234 × 131072)
    floor (50991.5)     		tx = 50991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623470306396484 × 217)
    floor (0.623470306396484 × 131072)
    floor (81719.5)     		ty = 81719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50991 / 81719 ti = "17/50991/81719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50991/81719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50991 ÷ 217
    50991 ÷ 131072     		x = 0.389030456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81719 ÷ 217
    81719 ÷ 131072     		y = 0.623466491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389030456542969 × 2 - 1) × π
    -0.221939086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.69724220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623466491699219 × 2 - 1) × π
    -0.246932983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.775762846551369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69724220} λ = -0.69724220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775762846551369))-π/2
    2×atan(0.460352468724144)-π/2
    2×0.431429613575628-π/2
    0.862859227151256-1.57079632675     		φ = -0.70793710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69724220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.949035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70793710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.561808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50991 KachelY 81719 -0.69724220 -0.70793710 -39.949035 -40.561808
    Oben rechts KachelX + 1 50992 KachelY 81719 -0.69719427 -0.70793710 -39.946289 -40.561808
    Unten links KachelX 50991 KachelY + 1 81720 -0.69724220 -0.70797352 -39.949035 -40.563895
    Unten rechts KachelX + 1 50992 KachelY + 1 81720 -0.69719427 -0.70797352 -39.946289 -40.563895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70793710--0.70797352) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dl = 232.031820000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70793710--0.70797352) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dr = 232.031820000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69724220--0.69719427) × cos(-0.70793710) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.759704929297731 × 6371000     		do = 231.985039411504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69724220--0.69719427) × cos(-0.70797352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.759681246034774 × 6371000     		du = 231.97780744225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70793710)-sin(-0.70797352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759704929297731-0.759681246034774)×R²
    abs(-0.69719427--0.69724220)×2.36832629573192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36832629573192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36832629573192e-05×40589641000000     		ar = 53827.0718898423m²