Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50991 / 48815
↖ ↑ ↗
← S 65.764472°
E100.101929°		 ← 250.75 m → S 65.764472°
E100.107422°		 →
↑
250.70 m
↓
↑
250.70 m
↓
S 65.766727°
E100.101929°		 ← 250.73 m →
62 859 m²		 S 65.766727°
E100.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778068542480469 y=0.744865417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778068542480469 × 216)
    floor (0.778068542480469 × 65536)
    floor (50991.5)     		tx = 50991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744865417480469 × 216)
    floor (0.744865417480469 × 65536)
    floor (48815.5)     		ty = 48815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50991 / 48815 ti = "16/50991/48815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50991/48815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50991 ÷ 216
    50991 ÷ 65536     		x = 0.778060913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48815 ÷ 216
    48815 ÷ 65536     		y = 0.744857788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778060913085938 × 2 - 1) × π
    0.556121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74710824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744857788085938 × 2 - 1) × π
    -0.489715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53848685640608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74710824} λ = 1.74710824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53848685640608))-π/2
    2×atan(0.214705736364957)-π/2
    2×0.211494880732193-π/2
    0.422989761464386-1.57079632675     		φ = -1.14780657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74710824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.101929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14780657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.764472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50991 KachelY 48815 1.74710824 -1.14780657 100.101929 -65.764472
    Oben rechts KachelX + 1 50992 KachelY 48815 1.74720412 -1.14780657 100.107422 -65.764472
    Unten links KachelX 50991 KachelY + 1 48816 1.74710824 -1.14784592 100.101929 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 50992 KachelY + 1 48816 1.74720412 -1.14784592 100.107422 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14780657--1.14784592) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dl = 250.698849999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14780657--1.14784592) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dr = 250.698849999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74710824-1.74720412) × cos(-1.14780657) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410488540444509 × 6371000     		do = 250.747532453404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74710824-1.74720412) × cos(-1.14784592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 250.725613736853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14780657)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410488540444509-0.410452658209189)×R²
    abs(1.74720412-1.74710824)×3.58822353200283e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58822353200283e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58822353200283e-05×40589641000000     		ar = 62859.37053594m²