Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50990 / 81720
↖ ↑ ↗
← S 40.563895°
W 39.951782°		 ← 232.03 m → S 40.563895°
W 39.949035°		 →
↑
231.97 m
↓
↑
231.97 m
↓
S 40.565981°
W 39.951782°		 ← 232.02 m →
53 822 m²		 S 40.565981°
W 39.949035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389026641845703 y=0.623477935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389026641845703 × 217)
    floor (0.389026641845703 × 131072)
    floor (50990.5)     		tx = 50990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623477935791016 × 217)
    floor (0.623477935791016 × 131072)
    floor (81720.5)     		ty = 81720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50990 / 81720 ti = "17/50990/81720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50990/81720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50990 ÷ 217
    50990 ÷ 131072     		x = 0.389022827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81720 ÷ 217
    81720 ÷ 131072     		y = 0.62347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389022827148438 × 2 - 1) × π
    -0.221954345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69729014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.775810783450989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69729014} λ = -0.69729014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775810783450989))-π/2
    2×atan(0.460330401382985)-π/2
    2×0.431411404909958-π/2
    0.862822809819916-1.57079632675     		φ = -0.70797352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69729014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.951782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70797352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.563895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50990 KachelY 81720 -0.69729014 -0.70797352 -39.951782 -40.563895
    Oben rechts KachelX + 1 50991 KachelY 81720 -0.69724220 -0.70797352 -39.949035 -40.563895
    Unten links KachelX 50990 KachelY + 1 81721 -0.69729014 -0.70800993 -39.951782 -40.565981
    Unten rechts KachelX + 1 50991 KachelY + 1 81721 -0.69724220 -0.70800993 -39.949035 -40.565981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70797352--0.70800993) × R
    3.64099999999867e-05 × 6371000     		dl = 231.968109999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70797352--0.70800993) × R
    3.64099999999867e-05 × 6371000     		dr = 231.968109999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69729014--0.69724220) × cos(-0.70797352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759681246034774 × 6371000     		do = 232.026206734141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69729014--0.69724220) × cos(-0.70800993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759657568267396 × 6371000     		du = 232.018974934518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70797352)-sin(-0.70800993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759681246034774-0.759657568267396)×R²
    abs(-0.69724220--0.69729014)×2.36777673779942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36777673779942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36777673779942e-05×40589641000000     		ar = 53821.8418791433m²