Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5099 / 7189
↖ ↑ ↗
← S 79.343349°
E 44.077149°		 ← 903.63 m → S 79.343349°
E 44.121094°		 →
↑
903.28 m
↓
↑
903.28 m
↓
S 79.351472°
E 44.077149°		 ← 902.94 m →
815 920 m²		 S 79.351472°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62249755859375 y=0.87762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62249755859375 × 213)
    floor (0.62249755859375 × 8192)
    floor (5099.5)     		tx = 5099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87762451171875 × 213)
    floor (0.87762451171875 × 8192)
    floor (7189.5)     		ty = 7189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5099 / 7189 ti = "13/5099/7189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5099/7189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5099 ÷ 213
    5099 ÷ 8192     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7189 ÷ 213
    7189 ÷ 8192     		y = 0.8775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37230128839734))-π/2
    2×atan(0.0932658475111384)-π/2
    2×0.0929968252842218-π/2
    0.185993650568444-1.57079632675     		φ = -1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5099 KachelY 7189 0.76929137 -1.38480268 44.077149 -79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 5100 KachelY 7189 0.77005836 -1.38480268 44.121094 -79.343349
    Unten links KachelX 5099 KachelY + 1 7190 0.76929137 -1.38494446 44.077149 -79.351472
    Unten rechts KachelX + 1 5100 KachelY + 1 7190 0.77005836 -1.38494446 44.121094 -79.351472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38480268--1.38494446) × R
    0.000141780000000091 × 6371000     		dl = 903.280380000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38480268--1.38494446) × R
    0.000141780000000091 × 6371000     		dr = 903.280380000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(-1.38480268) × R
    0.000766990000000023 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 903.625653525336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(-1.38494446) × R
    0.000766990000000023 × 0.184783797437298 × 6371000     		du = 902.944786278101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38480268)-sin(-1.38494446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184783797437298)×R²
    abs(0.77005836-0.76929137)×0.000139336576728322×R²
    0.000766990000000023×0.000139336576728322×6371000²
    0.000766990000000023×0.000139336576728322×40589641000000     		ar = 815919.818047881m²