Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5099 / 1229
↖ ↑ ↗
← N 77.341443°
E 44.077149°		 ← 1 070.83 m → N 77.341443°
E 44.121094°		 →
↑
1 071.22 m
↓
↑
1 071.22 m
↓
N 77.331809°
E 44.077149°		 ← 1 071.63 m →
1 147 522 m²		 N 77.331809°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62249755859375 y=0.15008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62249755859375 × 213)
    floor (0.62249755859375 × 8192)
    floor (5099.5)     		tx = 5099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15008544921875 × 213)
    floor (0.15008544921875 × 8192)
    floor (1229.5)     		ty = 1229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5099 / 1229 ti = "13/5099/1229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5099/1229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5099 ÷ 213
    5099 ÷ 8192     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1229 ÷ 213
    1229 ÷ 8192     		y = 0.1500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1500244140625 × 2 - 1) × π
    0.699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19896145937122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19896145937122))-π/2
    2×atan(9.01564552159443)-π/2
    2×1.46032957758571-π/2
    2.92065915517142-1.57079632675     		φ = 1.34986283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34986283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.341443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5099 KachelY 1229 0.76929137 1.34986283 44.077149 77.341443
    Oben rechts KachelX + 1 5100 KachelY 1229 0.77005836 1.34986283 44.121094 77.341443
    Unten links KachelX 5099 KachelY + 1 1230 0.76929137 1.34969469 44.077149 77.331809
    Unten rechts KachelX + 1 5100 KachelY + 1 1230 0.77005836 1.34969469 44.121094 77.331809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34986283-1.34969469) × R
    0.000168139999999983 × 6371000     		dl = 1071.21993999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34986283-1.34969469) × R
    0.000168139999999983 × 6371000     		dr = 1071.21993999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(1.34986283) × R
    0.000766990000000023 × 0.219140525005243 × 6371000     		do = 1070.82870500523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(1.34969469) × R
    0.000766990000000023 × 0.219304574979526 × 6371000     		du = 1071.63033410379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34986283)-sin(1.34969469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219140525005243-0.219304574979526)×R²
    abs(0.77005836-0.76929137)×0.000164049974282626×R²
    0.000766990000000023×0.000164049974282626×6371000²
    0.000766990000000023×0.000164049974282626×40589641000000     		ar = 1147522.42436636m²