Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5099 / 1228
↖ ↑ ↗
← N 77.351069°
E 44.077149°		 ← 1 070.03 m → N 77.351069°
E 44.121094°		 →
↑
1 070.39 m
↓
↑
1 070.39 m
↓
N 77.341443°
E 44.077149°		 ← 1 070.83 m →
1 145 777 m²		 N 77.341443°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62249755859375 y=0.14996337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62249755859375 × 213)
    floor (0.62249755859375 × 8192)
    floor (5099.5)     		tx = 5099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14996337890625 × 213)
    floor (0.14996337890625 × 8192)
    floor (1228.5)     		ty = 1228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5099 / 1228 ti = "13/5099/1228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5099/1228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5099 ÷ 213
    5099 ÷ 8192     		x = 0.6224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1228 ÷ 213
    1228 ÷ 8192     		y = 0.14990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14990234375 × 2 - 1) × π
    0.7001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19972844976514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76929137} λ = 0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19972844976514))-π/2
    2×atan(9.02256308761871)-π/2
    2×1.46041358548725-π/2
    2.92082717097451-1.57079632675     		φ = 1.35003084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35003084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.351069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5099 KachelY 1228 0.76929137 1.35003084 44.077149 77.351069
    Oben rechts KachelX + 1 5100 KachelY 1228 0.77005836 1.35003084 44.121094 77.351069
    Unten links KachelX 5099 KachelY + 1 1229 0.76929137 1.34986283 44.077149 77.341443
    Unten rechts KachelX + 1 5100 KachelY + 1 1229 0.77005836 1.34986283 44.121094 77.341443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35003084-1.34986283) × R
    0.000168010000000107 × 6371000     		dl = 1070.39171000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35003084-1.34986283) × R
    0.000168010000000107 × 6371000     		dr = 1070.39171000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(1.35003084) × R
    0.000766990000000023 × 0.218976595680542 × 6371000     		do = 1070.02766546004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76929137-0.77005836) × cos(1.34986283) × R
    0.000766990000000023 × 0.219140525005243 × 6371000     		du = 1070.82870500523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35003084)-sin(1.34986283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218976595680542-0.219140525005243)×R²
    abs(0.77005836-0.76929137)×0.000163929324701245×R²
    0.000766990000000023×0.000163929324701245×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163929324701245×40589641000000     		ar = 1145777.45831875m²