Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50988 / 81822
↖ ↑ ↗
← S 40.776382°
W 39.957276°		 ← 231.29 m → S 40.776382°
W 39.954529°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.778462°
W 39.957276°		 ← 231.28 m →
53 489 m²		 S 40.778462°
W 39.954529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389011383056641 y=0.624256134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389011383056641 × 217)
    floor (0.389011383056641 × 131072)
    floor (50988.5)     		tx = 50988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624256134033203 × 217)
    floor (0.624256134033203 × 131072)
    floor (81822.5)     		ty = 81822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50988 / 81822 ti = "17/50988/81822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50988/81822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50988 ÷ 217
    50988 ÷ 131072     		x = 0.389007568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81822 ÷ 217
    81822 ÷ 131072     		y = 0.624252319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.22198486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69738602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624252319335938 × 2 - 1) × π
    -0.248504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.780700347212234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69738602} λ = -0.69738602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780700347212234))-π/2
    2×atan(0.45808508032781)-π/2
    2×0.429557103808143-π/2
    0.859114207616287-1.57079632675     		φ = -0.71168212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69738602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.957276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71168212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.776382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50988 KachelY 81822 -0.69738602 -0.71168212 -39.957276 -40.776382
    Oben rechts KachelX + 1 50989 KachelY 81822 -0.69733808 -0.71168212 -39.954529 -40.776382
    Unten links KachelX 50988 KachelY + 1 81823 -0.69738602 -0.71171842 -39.957276 -40.778462
    Unten rechts KachelX + 1 50989 KachelY + 1 81823 -0.69733808 -0.71171842 -39.954529 -40.778462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71168212--0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71168212--0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69738602--0.69733808) × cos(-0.71168212) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		do = 231.288021720413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69738602--0.69733808) × cos(-0.71171842) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.757240632644357 × 6371000     		du = 231.280780583855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71168212)-sin(-0.71171842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757264340981964-0.757240632644357)×R²
    abs(-0.69733808--0.69738602)×2.3708337606565e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3708337606565e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3708337606565e-05×40589641000000     		ar = 53488.5189924177m²