Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50987 / 81821
↖ ↑ ↗
← S 40.774302°
W 39.960022°		 ← 231.25 m → S 40.774302°
W 39.957276°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.776382°
W 39.960022°		 ← 231.24 m →
53 479 m²		 S 40.776382°
W 39.957276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389003753662109 y=0.624248504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389003753662109 × 217)
    floor (0.389003753662109 × 131072)
    floor (50987.5)     		tx = 50987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624248504638672 × 217)
    floor (0.624248504638672 × 131072)
    floor (81821.5)     		ty = 81821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50987 / 81821 ti = "17/50987/81821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50987/81821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50987 ÷ 217
    50987 ÷ 131072     		x = 0.388999938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81821 ÷ 217
    81821 ÷ 131072     		y = 0.624244689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388999938964844 × 2 - 1) × π
    -0.222000122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.69743395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624244689941406 × 2 - 1) × π
    -0.248489379882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.780652410312614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69743395} λ = -0.69743395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780652410312614))-π/2
    2×atan(0.458107040032659)-π/2
    2×0.429575254544632-π/2
    0.859150509089264-1.57079632675     		φ = -0.71164582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69743395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.960022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71164582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.774302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50987 KachelY 81821 -0.69743395 -0.71164582 -39.960022 -40.774302
    Oben rechts KachelX + 1 50988 KachelY 81821 -0.69738602 -0.71164582 -39.957276 -40.774302
    Unten links KachelX 50987 KachelY + 1 81822 -0.69743395 -0.71168212 -39.960022 -40.776382
    Unten rechts KachelX + 1 50988 KachelY + 1 81822 -0.69738602 -0.71168212 -39.957276 -40.776382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71164582--0.71168212) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71164582--0.71168212) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69743395--0.69738602) × cos(-0.71164582) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.75728804832173 × 6371000     		do = 231.247015729868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69743395--0.69738602) × cos(-0.71168212) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		du = 231.239776408471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71164582)-sin(-0.71168212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75728804832173-0.757264340981964)×R²
    abs(-0.69738602--0.69743395)×2.37073397667542e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37073397667542e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37073397667542e-05×40589641000000     		ar = 53479.0358576927m²