Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50984 / 49132
↖ ↑ ↗
← S 66.469437°
E100.063477°		 ← 243.85 m → S 66.469437°
E100.068970°		 →
↑
243.88 m
↓
↑
243.88 m
↓
S 66.471630°
E100.063477°		 ← 243.83 m →
59 468 m²		 S 66.471630°
E100.068970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777961730957031 y=0.749702453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777961730957031 × 216)
    floor (0.777961730957031 × 65536)
    floor (50984.5)     		tx = 50984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749702453613281 × 216)
    floor (0.749702453613281 × 65536)
    floor (49132.5)     		ty = 49132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50984 / 49132 ti = "16/50984/49132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50984/49132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50984 ÷ 216
    50984 ÷ 65536     		x = 0.7779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49132 ÷ 216
    49132 ÷ 65536     		y = 0.74969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7779541015625 × 2 - 1) × π
    0.555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74643713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.4993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5688788507652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74643713} λ = 1.74643713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5688788507652))-π/2
    2×atan(0.208278562856763)-π/2
    2×0.205342896445205-π/2
    0.41068579289041-1.57079632675     		φ = -1.16011053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74643713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16011053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.469437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50984 KachelY 49132 1.74643713 -1.16011053 100.063477 -66.469437
    Oben rechts KachelX + 1 50985 KachelY 49132 1.74653300 -1.16011053 100.068970 -66.469437
    Unten links KachelX 50984 KachelY + 1 49133 1.74643713 -1.16014881 100.063477 -66.471630
    Unten rechts KachelX + 1 50985 KachelY + 1 49133 1.74653300 -1.16014881 100.068970 -66.471630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16011053--1.16014881) × R
    3.82799999998351e-05 × 6371000     		dl = 243.88187999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16011053--1.16014881) × R
    3.82799999998351e-05 × 6371000     		dr = 243.88187999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74643713-1.74653300) × cos(-1.16011053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399238192719525 × 6371000     		do = 243.849805429984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74643713-1.74653300) × cos(-1.16014881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39920309551459 × 6371000     		du = 243.828368486448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16011053)-sin(-1.16014881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399238192719525-0.39920309551459)×R²
    abs(1.74653300-1.74643713)×3.50972049350529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50972049350529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50972049350529e-05×40589641000000     		ar = 59467.9349517286m²